Evaluarea Națională

Breviarul complet de formule — Evaluarea Națională

Numere și algebră

  • Înmulțirea puterilor cu aceeași bază

    am⋅an=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}

    bazele trebuie să fie egale; se adună exponenții, nu se înmulțesc

  • Împărțirea puterilor cu aceeași bază

    am:an=am−na^m:a^n=a^{m-n}

    necesită $a\neq0$; capcană: dacă $m<n$ și $a\in\mathbb{Z}$, rezultatul poate să nu fie număr întreg

  • Puterea unei puteri

    (am)n=am⋅n(a^m)^n=a^{m\cdot n}

    exponenții se înmulțesc, nu se adună — greșeală frecventă

  • Puterea unui produs

    (a⋅b)n=an⋅bn(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n

    se ridică la putere fiecare factor

  • Divizibilitate cu 2, 5, $10^n$

    2∣n⇔ultima cifra˘∈{0,2,4,6,8};5∣n⇔ultima cifra˘∈{0,5}2\mid n \Leftrightarrow \text{ultima cifră}\in\{0,2,4,6,8\};\quad 5\mid n \Leftrightarrow \text{ultima cifră}\in\{0,5\}

    pentru $10^n$: ultimele $n$ cifre ale numărului sunt $0$

  • Divizibilitate cu 3, 9

    3∣n⇔3∣S(n);9∣n⇔9∣S(n)3\mid n \Leftrightarrow 3\mid S(n);\quad 9\mid n \Leftrightarrow 9\mid S(n)

    $S(n)$ = suma cifrelor lui $n$; nu există un criteriu simplu direct pentru 6, 7 sau 8

  • Zecimal periodic simplu

    0,(ab‾)=ab‾990,(\overline{ab})=\dfrac{\overline{ab}}{99}

    $\overline{ab}$ este numărul format din cifrele care se repetă, NU un produs $a\cdot b$

  • Zecimal periodic mixt

    0,a‾(b‾)=ab‾−a‾900,\overline{a}(\overline{b})=\dfrac{\overline{ab}-\overline{a}}{90}

    $\overline{ab}$ și $\overline{a}$ sunt numerele formate din cifrele respective; capcană: se confundă cu produsul cifrelor

  • Procent dintr-un număr

    p% din x=p100⋅xp\%\ \text{din}\ x=\dfrac{p}{100}\cdot x

    folosit și pentru procente dintr-o fracție sau dintr-o mărime dintr-un tabel/grafic

  • Proprietatea fundamentală a proporțiilor

    ab=cd ⟺ a⋅d=b⋅c\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Longleftrightarrow\ a\cdot d=b\cdot c

    produsul extremilor = produsul mezilor; bază pentru aflarea termenului necunoscut

  • Proporție derivată cu sumă

    ab=cd ⇒ a+bb=c+dd\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Rightarrow\ \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}

    utilă când problema dă suma termenilor unui raport

  • Șir de rapoarte egale

    a1b1=⋯=anbn=a1+⋯+anb1+⋯+bn\dfrac{a_1}{b_1}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{b_1+\cdots+b_n}

    folosit la împărțirea unui număr în părți direct proporționale

  • Regula de trei simplă (mărimi invers proporționale)

    x1⋅y1=x2⋅y2x_1\cdot y_1=x_2\cdot y_2

    capcană: se confundă cu proporția directă $\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}$, valabilă doar pentru mărimi direct proporționale

  • Media aritmetică

    ma=x1+x2+⋯+xnnm_a=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

    toate valorile au aceeași „pondere”

  • Media aritmetică ponderată

    mp=x1p1+x2p2+⋯+xnpnp1+p2+⋯+pnm_p=\dfrac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}

    $p_i$ sunt ponderile (frecvențele); se folosește la media pe un tabel de frecvențe

  • Media geometrică a două numere pozitive

    mg=a⋅bm_g=\sqrt{a\cdot b}

    definită doar pentru $a,b\geq0$

  • Raționalizarea numitorului de forma $a\sqrt{b}$

    1ab=ba⋅b\dfrac{1}{a\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{b}}{a\cdot b}

    se amplifică fracția cu $\sqrt{b}$

  • Pătratul unui binom

    (a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2

    singurele formule de calcul prescurtat din programă, împreună cu diferența de pătrate — NU sunt în programă cubul sumei/diferenței sau $a^3\pm b^3$

  • Diferența de pătrate

    (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2

    se folosește frecvent și la descompuneri în factori sau la fracții algebrice

  • Probabilitatea unui eveniment

    P(eveniment)=cazuri favorabilecazuri posibileP(\text{eveniment})=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}

    cazurile posibile trebuie să fie egal probabile; $0\leq P\leq1$

  • Distanța dintre două puncte în plan

    AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

    capcană de semn: se scad coordonatele omoloage ($x$ cu $x$, $y$ cu $y$), ordinea punctelor nu contează (se ridică la pătrat)

  • Intersecțiile graficului funcției liniare cu axele

    f(x)=ax+b:A ⁣(−ba,0)∈Ox,  B(0,b)∈Oyf(x)=ax+b:\quad A\!\left(-\dfrac{b}{a},0\right)\in Ox,\ \ B(0,b)\in Oy

    $A$ se află rezolvând $ax+b=0$; $B$ se obține pentru $x=0$

Geometrie plană

  • Suma unghiurilor unui triunghi

    A^+B^+C^=180∘\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}

    bază pentru aflarea unui unghi necunoscut într-un triunghi

  • Suma unghiurilor unui patrulater convex

    A^+B^+C^+D^=360∘\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^{\circ}

    valabilă doar pentru patrulatere convexe

  • Teorema unghiului exterior

    e^=B^+C^\hat{e}=\hat{B}+\hat{C}

    unghiul exterior al unui triunghi (în vârful $A$) este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente lui

  • Linia mijlocie în triunghi

    MN=BC2MN=\dfrac{BC}{2}

    $MN$ unește mijloacele a două laturi și este paralelă cu a treia latură

  • Linia mijlocie a trapezului

    MN=B+b2MN=\dfrac{B+b}{2}

    $B,b$ sunt bazele trapezului; $MN$ este paralelă cu bazele

  • Centrul de greutate al triunghiului

    AG=23 AMAG=\dfrac{2}{3}\,AM

    $G$ este punctul de intersecție a medianelor, situat la $\frac{2}{3}$ din vârf pe fiecare mediană

  • Raportul ariilor triunghiurilor asemenea

    A1A2=k2\dfrac{A_1}{A_2}=k^2

    $k$ este raportul de asemănare (raportul laturilor omoloage); capcană: se uită ridicarea la pătrat

  • Teorema înălțimii

    h2=pr1⋅pr2(sau h=c1⋅c2ip)h^2=pr_1\cdot pr_2\quad\left(\text{sau}\ h=\dfrac{c_1\cdot c_2}{ip}\right)

    $pr_1,pr_2$ sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză; valabilă doar în triunghiul dreptunghic

  • Teorema catetei

    c2=ip⋅prc^2=ip\cdot pr

    $pr$ este proiecția catetei $c$ pe ipotenuză

  • Teorema lui Pitagora

    ip2=c12+c22ip^2=c_1^2+c_2^2

    valabilă doar în triunghiul dreptunghic; reciproca se folosește pentru a demonstra că un triunghi este dreptunghic

  • Tabelul valorilor trigonometrice pentru $30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ}$
    & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} \\ \hline \sin & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ \mathrm{tg} & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \\ \mathrm{ctg} & \sqrt{3} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$$

    sin și cos sunt complementare ($\sin30^\circ=\cos60^\circ$ etc.); tg = sin/cos, ctg = cos/sin

  • Cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$

    c=ip2c=\dfrac{ip}{2}

    valabilă și reciproc: dacă o catetă este jumătate din ipotenuză, unghiul opus ei este $30^\circ$

  • Mediana corespunzătoare ipotenuzei

    m=ip2m=\dfrac{ip}{2}

    valabilă și reciproc, pentru a demonstra că un triunghi este dreptunghic

  • Aria triunghiului oarecare

    A=b⋅h2A=\dfrac{b\cdot h}{2}

    $h$ este înălțimea corespunzătoare bazei $b$

  • Aria triunghiului dreptunghic

    A=c1⋅c22A=\dfrac{c_1\cdot c_2}{2}

    catetele sunt reciproc perpendiculare, deci una este „bază”, cealaltă „înălțime”

  • Aria triunghiului echilateral

    A=l234(h=l32)A=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\quad\left(h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\right)

    $l$ este latura triunghiului echilateral

  • Aria pătratului

    A=l2A=l^2

    —

  • Aria dreptunghiului

    A=L⋅lA=L\cdot l

    capcană: NU se confundă cu aria paralelogramului (care nu este $L\cdot l$ dacă laturile nu sunt perpendiculare)

  • Aria paralelogramului

    A=b⋅hA=b\cdot h

    capcană frecventă: se scrie greșit $A=$ latură$\times$latură în loc de bază$\times$înălțime

  • Aria rombului

    A=d1⋅d22A=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}

    $d_1,d_2$ sunt diagonalele rombului, perpendiculare între ele

  • Aria trapezului

    A=(B+b)⋅h2A=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}

    $B,b$ bazele, $h$ înălțimea (distanța dintre baze)

  • Lungimea cercului

    L=2πRL=2\pi R

    —

  • Aria discului

    A=πR2A=\pi R^2

    —

  • Latura și apotema triunghiului echilateral înscris în cerc

    l3=R3,a3=R2l_3=R\sqrt{3},\qquad a_3=\dfrac{R}{2}

    $R$ este raza cercului circumscris

  • Latura și apotema pătratului înscris în cerc

    l4=R2,a4=R22l_4=R\sqrt{2},\qquad a_4=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}

    —

  • Latura și apotema hexagonului regulat înscris în cerc

    l6=R,a6=R32l_6=R,\qquad a_6=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}

    latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului circumscris

  • Aria hexagonului regulat

    A=3l232A=\dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}

    $l$ este latura hexagonului

Geometrie în spațiu

  • Diagonala cubului

    d=l3d=l\sqrt{3}

    $l$ este muchia cubului

  • Diagonala paralelipipedului dreptunghic

    d2=a2+b2+c2d^2=a^2+b^2+c^2

    $a,b,c$ sunt cele trei dimensiuni

  • Aria laterală a prismei drepte

    Al=Pb⋅hA_l=P_b\cdot h

    $P_b$ este perimetrul bazei, $h$ înălțimea prismei

  • Aria totală a prismei drepte

    At=Al+2AbA_t=A_l+2A_b

    $A_b$ este aria unei baze

  • Volumul prismei drepte

    V=Ab⋅hV=A_b\cdot h

    valabil și pentru paralelipipedul dreptunghic ($V=abc$) și cub ($V=l^3$) ca particularizări

  • Aria laterală a piramidei regulate

    Al=Pb⋅ap2A_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}

    $a_p$ este apotema piramidei (nu apotema bazei!)

  • Aria totală a piramidei regulate

    At=Al+AbA_t=A_l+A_b

    —

  • Volumul piramidei regulate

    V=Ab⋅h3V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}

    capcană: se uită împărțirea la $3$

  • Relația dintre apotema piramidei, înălțime și apotema bazei

    ap2=h2+ab2a_p^2=h^2+a_b^2

    triunghi dreptunghic format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei

  • Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată

    Al=(PB+Pb)⋅at2A_l=\dfrac{(P_B+P_b)\cdot a_t}{2}

    $P_B,P_b$ perimetrele celor două baze, $a_t$ apotema trunchiului

  • Volumul trunchiului de piramidă regulată

    V=h3(AB+Ab+AB⋅Ab)V=\dfrac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)

    $A_B,A_b$ ariile celor două baze

  • Aria laterală a cilindrului circular drept

    Al=2πRG(G=h)A_l=2\pi RG\quad(G=h)

    generatoarea $G$ este egală cu înălțimea la cilindrul drept

  • Aria totală a cilindrului

    At=2πR(R+G)A_t=2\pi R(R+G)

    —

  • Volumul cilindrului

    V=πR2hV=\pi R^2h

    —

  • Generatoarea conului circular drept

    G2=h2+R2G^2=h^2+R^2

    triunghi dreptunghic format de înălțime, rază și generatoare

  • Aria laterală a conului

    Al=πRGA_l=\pi RG

    —

  • Aria totală a conului

    At=πR(R+G)A_t=\pi R(R+G)

    —

  • Volumul conului

    V=πR2h3V=\dfrac{\pi R^2h}{3}

    capcană: se uită împărțirea la $3$, la fel ca la piramidă

  • Aria laterală a trunchiului de con

    Al=πG(R+r)A_l=\pi G(R+r)

    $R,r$ razele celor două baze, $G$ generatoarea trunchiului

  • Volumul trunchiului de con

    V=πh3(R2+r2+Rr)V=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right)

    —

  • Aria sferei

    A=4πR2A=4\pi R^2

    conținut exclus din simularea de martie

  • Volumul sferei

    V=4πR33V=\dfrac{4\pi R^3}{3}

    conținut exclus din simularea de martie

  • Înălțimea tetraedrului regulat

    h=l63h=\dfrac{l\sqrt{6}}{3}

    $l$ este muchia tetraedrului regulat

  • Teorema celor trei perpendiculare

    d⊥α, AB⊂α, OB⊥AB ⇒ OA⊥ABd\perp\alpha,\ AB\subset\alpha,\ OB\perp AB \ \Rightarrow\ OA\perp AB

    folosită pentru a construi/justifica unghiuri și distanțe punct–dreaptă în corpuri; conținut exclus din simularea de martie (împreună cu unghiul diedru și unghiul a două plane)