Evaluarea Națională

Operații cu numere reale reprezentate prin litere; reducerea termenilor asemenea

În calculul algebric folosim litere (aa, bb, xx, yy, ...) pentru a reprezenta numere reale. O literă însoțită de un factor numeric formează un monom, iar coeficientul numeric se numește coeficient. De exemplu, în −5x-5x coeficientul este −5-5, iar partea literală este xx.

Termeni asemenea

Doi termeni se numesc asemenea dacă au aceeași parte literală (aceleași litere ridicate la aceleași puteri). De exemplu, 3x3x și −7x-7x sunt asemenea, la fel 2x2y2x^2y și 12x2y\frac{1}{2}x^2y. În schimb, 3x3x și 3x23x^2 nu sunt asemenea, pentru că exponenții lui xx diferă.

Reducerea termenilor asemenea înseamnă adunarea lor într-un singur termen, prin adunarea coeficienților și păstrarea părții literale: 3x+5x−2x=(3+5−2)x=6x.3x + 5x - 2x = (3+5-2)x = 6x. Atenție: se adună doar coeficienții, partea literală rămâne neschimbată. Nu putem reduce termeni care nu sunt asemenea: 3x+2y3x + 2y rămâne 3x+2y3x + 2y.

Operații de bază

Adunarea și scăderea expresiilor înseamnă reducerea termenilor asemenea, după eliminarea parantezelor. La eliminarea unei paranteze precedate de semnul minus, toate semnele din interior se schimbă: 5x−(2x−3)=5x−2x+3=3x+3.5x - (2x - 3) = 5x - 2x + 3 = 3x + 3.

Înmulțirea unui monom cu o sumă se face cu proprietatea de distributivitate: a(b+c)=ab+ac.a(b + c) = ab + ac. De exemplu, 2x(3x−4)=6x2−8x2x(3x - 4) = 6x^2 - 8x. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună: x2⋅x3=x5x^2 \cdot x^3 = x^5; iar xm:xn=xm−nx^m : x^n = x^{m-n}.

Înmulțirea a două paranteze (sumă cu sumă) se face înmulțind fiecare termen din prima cu fiecare termen din a doua: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd. De exemplu, (x+2)(x−3)=x2−3x+2x−6=x2−x−6(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6.

Puteri și semne

La ridicarea la putere a unui produs, (ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n, iar (xm)n=xmn(x^m)^n = x^{mn}. Semnele urmează regula: produsul a două numere de același semn este pozitiv, iar de semne diferite este negativ. De exemplu, (−2x)2=4x2(-2x)^2 = 4x^2 (pozitiv), dar −2x⋅3x=−6x2-2x \cdot 3x = -6x^2.

Ordinea operațiilor se păstrează ca la numere: mai întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile; parantezele au prioritate.

Formule

  • Distributivitatea: a(b+c)=ab+aca(b+c) = ab + ac

  • Produsul a două binoame: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

  • Reducerea termenilor asemenea: αx+βx=(α+β)x\alpha x + \beta x = (\alpha + \beta)x

  • Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: xm⋅xn=xm+nx^m \cdot x^n = x^{m+n}

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Reduceți termenii asemenea în expresia E=4x+3y−2x+5y−xE = 4x + 3y - 2x + 5y - x.

Grupăm termenii asemenea (cei în xx împreună, cei în yy împreună): E=(4x−2x−x)+(3y+5y).E = (4x - 2x - x) + (3y + 5y). Reducem coeficienții pe fiecare grupă: E=(4−2−1)x+(3+5)y=1x+8y=x+8y.E = (4 - 2 - 1)x + (3 + 5)y = 1x + 8y = x + 8y.

Exemplul 2

Aduceți la o formă mai simplă expresia E=3x(x−2)−(x2−5x)E = 3x(x - 2) - (x^2 - 5x).

Efectuăm înmulțirea din primul termen, folosind distributivitatea: 3x(x−2)=3x2−6x.3x(x-2) = 3x^2 - 6x. Eliminăm paranteza precedată de minus, schimbând semnele: −(x2−5x)=−x2+5x.-(x^2 - 5x) = -x^2 + 5x. Adunăm și reducem termenii asemenea: E=3x2−6x−x2+5x=(3−1)x2+(−6+5)x=2x2−x.E = 3x^2 - 6x - x^2 + 5x = (3-1)x^2 + (-6+5)x = 2x^2 - x.

Exemplul 3

Calculați (2x−1)(x+3)(2x - 1)(x + 3).

Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua: (2x−1)(x+3)=2x⋅x+2x⋅3−1⋅x−1⋅3.(2x-1)(x+3) = 2x \cdot x + 2x \cdot 3 - 1 \cdot x - 1 \cdot 3. =2x2+6x−x−3.= 2x^2 + 6x - x - 3. Reducem termenii asemenea 6x−x=5x6x - x = 5x: =2x2+5x−3.= 2x^2 + 5x - 3.

Greșeli frecvente

  • Reducerea unor termeni care NU sunt asemenea, de exemplu $3x + 2x^2 = 5x^3$ (greșit). Corect: $3x$ și $2x^2$ nu se pot reduce, expresia rămâne $2x^2 + 3x$.
  • La eliminarea parantezei precedate de minus se schimbă semnul doar la primul termen: $5 - (x - 2) = 5 - x - 2$ (greșit). Corect: toate semnele se schimbă, $5 - (x-2) = 5 - x + 2 = 7 - x$.
  • Confuzia dintre adunare și înmulțire la puteri: $x^2 + x^2 = x^4$ (greșit). Corect: $x^2 + x^2 = 2x^2$ (reducere de termeni asemenea), iar $x^2 \cdot x^2 = x^4$.
  • La reducere se modifică și partea literală: $3x + 5x = 8x^2$ (greșit). Corect: se adună doar coeficienții, $3x + 5x = 8x$.

Pe scurt

  • Termenii asemenea au aceeași parte literală; la reducere se adună doar coeficienții, partea literală rămâne aceeași.
  • Paranteza precedată de minus schimbă semnul tuturor termenilor din interior.
  • Distributivitate: a(b+c)=ab+aca(b+c) = ab + ac; produs de binoame: fiecare cu fiecare.
  • La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună: xm⋅xn=xm+nx^m \cdot x^n = x^{m+n}.
  • x2+x2=2x2x^2 + x^2 = 2x^2 (adunare), dar x2⋅x2=x4x^2 \cdot x^2 = x^4 (înmulțire).

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.