Evaluarea Națională

Formulele de calcul prescurtat

Formulele de calcul prescurtat permit ridicarea la pătrat a unui binom și înmulțirea sumei cu diferența, fără a mai desfășura de fiecare dată produsul termen cu termen. În programa de Evaluare Națională intră doar două formule.

Pătratul binomului

Pătratul sumei: (a+b)2=a2+2ab+b2.(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Pătratul diferenței: (a−b)2=a2−2ab+b2.(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Cele două se scriu compact ca (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2. În cuvinte: pătratul primului termen, plus (sau minus) dublul produsului celor doi termeni, plus pătratul celui de-al doilea. Termenul din mijloc, 2ab2ab, este cel uitat cel mai des.

De exemplu: (x+3)2=x2+2⋅x⋅3+32=x2+6x+9;(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9; (2x−5)2=(2x)2−2⋅2x⋅5+52=4x2−20x+25.(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25. Atenție la (2x)2=4x2(2x)^2 = 4x^2: se ridică la pătrat și coeficientul, nu doar litera.

Diferența de pătrate

Produsul sumei cu diferența acelorași doi termeni este egal cu diferența pătratelor: (a−b)(a+b)=a2−b2.(a - b)(a + b) = a^2 - b^2. Termenii din mijloc se reduc: (a−b)(a+b)=a2+ab−ab−b2=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2. De exemplu: (x−4)(x+4)=x2−16;(x - 4)(x + 4) = x^2 - 16; (3x−2)(3x+2)=(3x)2−22=9x2−4.(3x - 2)(3x + 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4.

Citită de la dreapta la stânga, formula ne dă descompunerea unei diferențe de pătrate: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). Astfel x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x-5)(x+5).

La ce folosesc

Aceste formule apar constant la Subiectul III: la simplificarea expresiilor, la calcule numerice rapide (de exemplu 1012=(100+1)2=10000+200+1=10201101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201), la demonstrarea unor identități și la descompunerea în factori (lecția următoare). Recunoașterea tiparului — „este un pătrat de binom?”, „este o diferență de pătrate?” — economisește timp și reduce erorile.

Observație: cubul sumei/diferenței și sumele/diferențele de cuburi nu fac parte din programă și nu se folosesc la acest examen.

Formule

  • Pătratul binomului: (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

  • Diferența de pătrate: (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Calculați (3x−4)2(3x - 4)^2.

Aplicăm (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 cu a=3xa = 3x și b=4b = 4: (3x)2−2⋅3x⋅4+42.(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2. Calculăm fiecare termen: (3x)2=9x2(3x)^2 = 9x^2, 2⋅3x⋅4=24x2 \cdot 3x \cdot 4 = 24x, 42=164^2 = 16. Deci: (3x−4)2=9x2−24x+16.(3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16.

Exemplul 2

Calculați (2x−3)(2x+3)(2x - 3)(2x + 3).

Recunoaștem produsul sumei cu diferența, cu a=2xa = 2x și b=3b = 3. Aplicăm (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2: (2x)2−32=4x2−9.(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9.

Exemplul 3

Arătați că (x+5)2−(x−5)2=20x(x + 5)^2 - (x - 5)^2 = 20x, pentru orice număr real xx.

Dezvoltăm fiecare pătrat: (x+5)2=x2+10x+25;(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25; (x−5)2=x2−10x+25.(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25. Scădem, atenție la semnele parantezei: (x+5)2−(x−5)2=x2+10x+25−x2+10x−25=20x.(x+5)^2 - (x-5)^2 = x^2 + 10x + 25 - x^2 + 10x - 25 = 20x.

Greșeli frecvente

  • Uitarea termenului din mijloc: $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ (greșit). Corect: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; de exemplu $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, nu $x^2 + 9$.
  • Nu se ridică la pătrat coeficientul: $(2x)^2 = 2x^2$ (greșit). Corect: $(2x)^2 = 4x^2$.
  • Greșeală de semn la pătratul diferenței: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab - b^2$ (greșit). Corect: ultimul termen este $+b^2$, deci $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
  • Confuzia dintre formule: $(a-b)(a+b) = a^2 - 2ab + b^2$ (greșit). Corect: produsul sumei cu diferența dă $a^2 - b^2$, fără termen din mijloc.

Pe scurt

  • (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 — pătratul primului, dublul produsului, pătratul celui de-al doilea. Nu uita termenul 2ab2ab!
  • (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2 — produsul sumei cu diferența = diferența pătratelor.
  • Citită invers, a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) dă descompunerea diferenței de pătrate.
  • La coeficienți: (2x)2=4x2(2x)^2 = 4x^2, se ridică la pătrat tot termenul.
  • Cubul sumei/diferenței și a3±b3a^3 \pm b^3 NU fac parte din programă.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.