Evaluarea Națională

Descompunerea în factori

A descompune în factori o expresie algebrică înseamnă a o scrie ca un produs de expresii mai simple. Este operația inversă desfacerii parantezelor. Descompunerea este esențială la simplificarea fracțiilor algebrice și la rezolvarea ecuațiilor: dacă un produs este zero, atunci cel puțin unul dintre factori este zero. La Evaluarea Națională se folosesc trei metode, adesea combinate.

1. Factor comun

Dacă toți termenii au un factor comun (număr, literă sau ambele), îl scoatem în fața parantezei: ab+ac=a(b+c).ab + ac = a(b + c). Alegem cel mai mare factor comun posibil. De exemplu: 6x2−9x=3x(2x−3);6x^2 - 9x = 3x(2x - 3); 4x3+2x2=2x2(2x+1).4x^3 + 2x^2 = 2x^2(2x + 1). Verificarea se face desfăcând paranteza: trebuie să obținem expresia inițială. Atenție la semne: −x2−x=−x(x+1)-x^2 - x = -x(x + 1).

2. Gruparea termenilor

Când nu există factor comun pentru toți termenii (de obicei la expresii cu 4 termeni), grupăm termenii în perechi, dăm factor comun pe fiecare grupă, apoi scoatem noul factor comun: ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b). Exemplu concret: x3+x2+x+1=x2(x+1)+1⋅(x+1)=(x+1)(x2+1).x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1 \cdot (x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1). Condiția ca metoda să funcționeze: după prima etapă, în ambele grupe trebuie să apară aceeași paranteză.

3. Formule de calcul prescurtat

Citite de la dreapta la stânga, cele două formule din lecția precedentă devin instrumente de descompunere.

Diferența de pătrate: a2−b2=(a−b)(a+b).a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). De exemplu: x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3); 4x2−25=(2x−5)(2x+5)4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5).

Pătratul unui binom (trinom pătrat perfect): a2+2ab+b2=(a+b)2,a2−2ab+b2=(a−b)2.a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, \qquad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2. De exemplu: x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2; x2−10x+25=(x−5)2x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2.

Strategia generală

Ordinea recomandată: întâi căutăm factor comun; apoi verificăm dacă rămâne o formulă (diferență de pătrate sau trinom pătrat perfect) sau dacă putem grupa. Adesea metodele se combină. De exemplu: 2x2−8=2(x2−4)=2(x−2)(x+2)2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2) — mai întâi factor comun 2, apoi diferență de pătrate. Descompunerea este completă când niciun factor nu mai poate fi descompus.

Formule

  • Factor comun: ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c)

  • Gruparea termenilor: ax+ay+bx+by=(x+y)(a+b)ax + ay + bx + by = (x + y)(a + b)

  • Diferența de pătrate: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

  • Trinom pătrat perfect: a2±2ab+b2=(a±b)2a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Descompuneți în factori expresia E=6x2−9xE = 6x^2 - 9x.

Căutăm cel mai mare factor comun al termenilor 6x26x^2 și 9x9x. Coeficienții 66 și 99 au factorul comun 33, iar partea literală comună este xx. Deci factorul comun este 3x3x: E=3x⋅2x−3x⋅3=3x(2x−3).E = 3x \cdot 2x - 3x \cdot 3 = 3x(2x - 3). Verificare: 3x(2x−3)=6x2−9x3x(2x-3) = 6x^2 - 9x. Corect.

Exemplul 2

Descompuneți în factori expresia E=x2−16E = x^2 - 16.

Recunoaștem o diferență de pătrate: x2−16=x2−42x^2 - 16 = x^2 - 4^2. Aplicăm a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) cu a=xa = x, b=4b = 4: E=(x−4)(x+4).E = (x - 4)(x + 4).

Exemplul 3

Descompuneți în factori expresia E=x2+4x+4E = x^2 + 4x + 4.

Verificăm dacă este trinom pătrat perfect: x2x^2 este pătratul lui xx, 4=224 = 2^2 este pătratul lui 22, iar termenul din mijloc 4x=2⋅x⋅24x = 2 \cdot x \cdot 2 este dublul produsului. Deci: E=x2+2⋅x⋅2+22=(x+2)2.E = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x + 2)^2.

Exemplul 4

Descompuneți în factori expresia E=x3+2x2−4x−8E = x^3 + 2x^2 - 4x - 8.

Grupăm termenii câte doi: E=(x3+2x2)+(−4x−8).E = (x^3 + 2x^2) + (-4x - 8). Dăm factor comun pe fiecare grupă: din prima x2x^2, din a doua −4-4: E=x2(x+2)−4(x+2).E = x^2(x + 2) - 4(x + 2). Scoatem factorul comun (x+2)(x + 2): E=(x+2)(x2−4).E = (x + 2)(x^2 - 4). Factorul x2−4x^2 - 4 este o diferență de pătrate, deci continuăm descompunerea: E=(x+2)(x−2)(x+2)=(x+2)2(x−2).E = (x + 2)(x - 2)(x + 2) = (x + 2)^2 (x - 2).

Greșeli frecvente

  • Se scoate factor comun doar din unii termeni: $6x^2 - 9x = 3x(2x)$ (greșit, s-a uitat al doilea termen). Corect: $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$; la verificare, produsul trebuie să dea exact expresia inițială.
  • Confuzia sumei de pătrate cu diferența: $x^2 + 9 = (x+3)(x-3)$ (greșit). Corect: doar diferența de pătrate se descompune, $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$; suma $x^2 + 9$ nu se descompune (peste numerele reale).
  • Trinom incomplet luat drept pătrat perfect: $x^2 + 5x + 9 = (x+3)^2$ (greșit). Corect: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$; trinomul este pătrat perfect doar dacă termenul din mijloc este exact $2ab$.
  • La factorul comun $-x$ nu se schimbă semnele din paranteză: $-x^2 - x = -x(x - 1)$ (greșit). Corect: $-x^2 - x = -x(x + 1)$.

Pe scurt

  • A descompune în factori = a scrie expresia ca produs; este inversul desfacerii parantezelor.
  • Întâi factor comun: ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b+c).
  • Grupare (la 4 termeni): formează perechi cu aceeași paranteză comună.
  • Formule: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) și a2±2ab+b2=(a±b)2a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2.
  • Suma de pătrate a2+b2a^2 + b^2 NU se descompune peste R\mathbb{R}.
  • Descompunerea e completă când niciun factor nu mai poate fi descompus.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.