Evaluarea Națională

Fracții algebrice

O fracție algebrică este un raport de forma AB\frac{A}{B}, unde AA și BB sunt expresii algebrice (de obicei polinoame), iar BB este nenul. Deoarece împărțirea la zero nu are sens, primul pas la orice fracție algebrică este stabilirea domeniului de definiție: valorile necunoscutei pentru care numitorul se anulează sunt excluse.

Domeniul de definiție. Rezolvăm ecuația B=0B = 0 și eliminăm soluțiile obținute. De exemplu, fracția x+1x−3\frac{x+1}{x-3} este definită pentru orice x≠3x \neq 3, adică x∈R∖{3}x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}. Dacă numitorul este x2+3x=x(x+3)x^2+3x = x(x+3), atunci se exclud x=0x=0 și x=−3x=-3.

Amplificarea și simplificarea. Amplificarea înseamnă înmulțirea numărătorului și a numitorului cu aceeași expresie nenulă: AB=A⋅CB⋅C\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}, cu C≠0C \neq 0. Ea nu schimbă valoarea fracției și se folosește pentru a aduce fracțiile la același numitor. Simplificarea este operația inversă: A⋅CB⋅C=AB\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}. Atenție: se simplifică numai factori comuni, niciodată termeni dintr-o sumă. Pentru a putea simplifica, numărătorul și numitorul trebuie mai întâi descompuși în factori (factor comun, grupare, formulele (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 și (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2-b^2).

Adunarea și scăderea. Se aduc fracțiile la același numitor, apoi se adună/scad numărătorii: AB±CD=AD±BCBD\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD \pm BC}{BD}. Dacă numitorii au factori comuni, se caută cel mai mic numitor comun (nu neapărat produsul lor). La scădere, minusul se distribuie la tot numărătorul celei de-a doua fracții.

Înmulțirea și împărțirea. La înmulțire se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei: AB⋅CD=ACBD\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}. La împărțire se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua: AB:CD=AB⋅DC=ADBC\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}. Este util să descompunem în factori înainte de a înmulți, ca să putem simplifica.

Ridicarea la putere. (AB)n=AnBn\left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n}: se ridică la putere separat numărătorul și numitorul.

Strategia completă la o expresie: punem condițiile de existență, descompunem în factori, aducem la numitor comun, efectuăm operațiile, simplificăm rezultatul final.

Formule

  • Condiția de existență: AB este definita˘  ⟺  B≠0\frac{A}{B} \text{ este definită} \iff B \neq 0

  • Simplificare: A⋅CB⋅C=AB, C≠0\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}, \ C \neq 0

  • Amplificare: AB=A⋅CB⋅C, C≠0\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}, \ C \neq 0

  • Adunare / scădere: AB±CD=AD±BCBD\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD \pm BC}{BD}

  • Înmulțire: AB⋅CD=ACBD\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}

  • Împărțire: AB:CD=AB⋅DC=ADBC\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}

  • Ridicare la putere: (AB)n=AnBn\left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n}

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Simplifică fracția x2−9x2+3x\frac{x^2-9}{x^2+3x} și precizează domeniul de definiție.

Domeniul. Numitorul x2+3x=x(x+3)x^2+3x = x(x+3) se anulează pentru x=0x=0 și x=−3x=-3, deci domeniul este x∈R∖{−3,0}x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 0\}.

Simplificarea. Descompunem numărătorul cu diferența de pătrate: x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3). Rezultă (x−3)(x+3)x(x+3)=x−3x,\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} = \frac{x-3}{x}, după simplificarea factorului comun x+3≠0x+3 \neq 0.

Exemplul 2

Calculează 1x−1+1x+1\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}.

Domeniul: x≠1x \neq 1 și x≠−1x \neq -1.

Numitorul comun este (x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1)=x^2-1. Amplificăm fiecare fracție: x+1(x−1)(x+1)+x−1(x−1)(x+1)=(x+1)+(x−1)x2−1=2xx2−1.\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)+(x-1)}{x^2-1} = \frac{2x}{x^2-1}.

Exemplul 3

Efectuează x2−4x:x+23x\frac{x^2-4}{x} : \frac{x+2}{3x}.

Domeniul: x≠0x \neq 0 și x≠−2x \neq -2.

Împărțirea se transformă în înmulțire cu inversa: x2−4x⋅3xx+2=(x−2)(x+2)x⋅3xx+2.\frac{x^2-4}{x} \cdot \frac{3x}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x} \cdot \frac{3x}{x+2}. Simplificăm x+2x+2 și xx: =3(x−2)=3x−6.= 3(x-2) = 3x-6.

Greșeli frecvente

  • Simplificarea „peste sumă": $\frac{x+3}{x} = 3$ este GREȘIT. Se simplifică doar factori comuni, nu termeni dintr-o sumă. Corect: $\frac{x+3}{x}$ nu se mai poate simplifica.
  • Uitarea condițiilor de existență. Corect: înainte de orice calcul se pune condiția numitor $\neq 0$ și se exclud valorile care îl anulează.
  • La scădere, minusul nu se distribuie la tot numărătorul: corect $\frac{a}{d} - \frac{b+c}{d} = \frac{a-(b+c)}{d} = \frac{a-b-c}{d}$, nu $\frac{a-b+c}{d}$.
  • La împărțire se împart greșit numărătorii între ei. Corect: se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua.

Pe scurt

  • O fracție algebrică AB\frac{A}{B} există doar dacă B≠0B \neq 0 — stabilește întâi domeniul de definiție.
  • Simplifici numai factori comuni; de aceea descompui mai întâi numărătorul și numitorul în factori.
  • Adunarea/scăderea cer numitor comun; minusul se distribuie la tot numărătorul.
  • Împărțirea = înmulțire cu inversa; la putere ridici separat numărătorul și numitorul: (AB)n=AnBn\left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}.
  • Verifică la final că rezultatul este ireductibil.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.