Inecuații

O inecuație de gradul I cu necunoscuta $x$ este o inegalitate care se poate aduce la una dintre formele $ax + b \ge 0, \quad ax + b \le 0, \quad ax + b > 0, \quad ax + b < 0, \qquad a, b \in \mathbb{R}.$ A rezolva o inecuație înseamnă a găsi toate valorile reale ale lui $x$ care o verifică. Mulțimea soluțiilor se scrie de obicei ca interval.

Transformări echivalente. Ca la ecuații, putem:

aduna sau scădea același număr în ambii membri — sensul inegalității rămâne neschimbat;
înmulți sau împărți ambii membri cu un număr pozitiv — sensul rămâne neschimbat.

Regula esențială. Când înmulțim sau împărțim ambii membri cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă: $\ge$ devine $\le$ , $>$ devine $<$ și invers. De exemplu, din $-2x > 6$ , împărțind la $-2$ , obținem $x < -3$ (nu $x > -3$ ).

Rezolvarea. Izolăm necunoscuta exact ca la o ecuație (termenii cu $x$ într-un membru, numerele în celălalt, cu schimbarea semnului la trecere), apoi împărțim la coeficientul lui $x$ — atenție la semnul lui:

$ax + b \ge 0$ cu $a > 0 \Rightarrow x \ge -\dfrac{b}{a}$ , deci $S = \left[-\dfrac{b}{a}, +\infty\right)$ ;
$ax + b \ge 0$ cu $a < 0 \Rightarrow x \le -\dfrac{b}{a}$ (sens schimbat), deci $S = \left(-\infty, -\dfrac{b}{a}\right]$ .

Scrierea intervalului. Folosim paranteză pătrată $[\ ]$ când capătul este inclus (la $\ge$ și $\le$ ) și paranteză rotundă $(\ )$ când nu este inclus (la $>$ și $<$ ). La $+\infty$ și $-\infty$ punem întotdeauna paranteză rotundă. Astfel: $x \ge 3$ dă $S = [3, +\infty)$ , iar $x < 3$ dă $S = (-\infty, 3)$ .

Reprezentarea pe axă. Marcăm valoarea $-\frac{b}{a}$ pe axă cu un punct plin (capăt inclus) sau gol (capăt exclus) și hașurăm semidreapta corespunzătoare sensului soluției.

Etape de lucru: (1) desfacem parantezele și, dacă e cazul, înmulțim cu numitorul comun (fiecare termen); (2) grupăm termenii cu $x$ și numerele; (3) reducem la forma $ax \ge -b$ (sau $\le, <, >$ ); (4) împărțim la $a$ , schimbând sensul dacă $a < 0$ ; (5) scriem soluția ca interval și, la cerere, o reprezentăm pe axă. Uneori se cer doar soluțiile întregi sau naturale din interval.

Formule

Forma generală: $ax + b \ge 0 \ (\le, <, >), \ a, b \in \mathbb{R}$
Împărțire cu număr pozitiv: $a > 0: \ ax \ge c \Rightarrow x \ge \frac{c}{a}$
Împărțire cu număr negativ (sens schimbat): $a < 0: \ ax \ge c \Rightarrow x \le \frac{c}{a}$
Soluție ca interval (capăt inclus): $x \ge k \iff x \in [k, +\infty)$
Soluție ca interval (capăt exclus): $x < k \iff x \in (-\infty, k)$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuația $2x - 6 \ge 0$ și scrie soluția ca interval.

Trecem $-6$ în dreapta: $2x \ge 6$ . Împărțim la $2 > 0$ (sensul rămâne): $x \ge 3$ .

Capătul $3$ este inclus (avem $\ge$ ), deci $S = [3, +\infty)$ .

Exemplul 2

Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuația $-3x + 9 > 0$ .

Trecem $9$ în dreapta: $-3x > -9$ . Împărțim la $-3 < 0$ , deci schimbăm sensul: $x < 3$ .

Capătul $3$ NU este inclus (avem $<$ ), deci $S = (-\infty, 3)$ .

Exemplul 3

Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuația $5 - 2x \le 1$ .

Trecem $5$ în dreapta: $-2x \le 1 - 5$ , adică $-2x \le -4$ . Împărțim la $-2 < 0$ și schimbăm sensul: $x \ge 2$ .

Deci $S = [2, +\infty)$ .

Greșeli frecvente

Nu se schimbă sensul inegalității la împărțirea cu un număr negativ. Corect: din $-2x > 6$ rezultă $x < -3$, nu $x > -3$.
Se greșește tipul de paranteză: la $\ge$ și $\le$ capătul este inclus, deci paranteză pătrată $[\ ]$; la $>$ și $<$ paranteză rotundă $(\ )$.
Se pune paranteză pătrată la $\pm\infty$. Corect: la $+\infty$ și $-\infty$ se folosește întotdeauna paranteză rotundă.
Eroare de semn la mutarea termenilor. Corect: termenul care trece în celălalt membru își schimbă semnul, exact ca la ecuații.

Pe scurt

O inecuație de gradul I se aduce la forma $ax+b \ge 0$ (sau $\le, <, >$ ).
Aduni/scazi orice număr fără să schimbi sensul; înmulțești/împarți cu un număr pozitiv fără să schimbi sensul.
La împărțirea (înmulțirea) cu un număr NEGATIV, sensul inegalității se schimbă.
Scrii soluția ca interval: $[\ ]$ pentru capăt inclus ( $\ge, \le$ ), $(\ )$ pentru capăt exclus ( $>, <$ ); la $\pm\infty$ mereu $(\ )$ .
Uneori se cer doar soluțiile întregi sau naturale din interval.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.