Sisteme de două ecuații liniare

Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute este format din două ecuații de gradul întâi care trebuie satisfăcute simultan de aceeași pereche de numere. Forma generală este $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ , unde $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ sunt numere reale date, iar $x$ și $y$ sunt necunoscutele.

A rezolva un sistem înseamnă a găsi toate perechile $(x, y)$ care verifică ambele ecuații în același timp. O astfel de pereche se numește soluție a sistemului. Un sistem obișnuit are exact o soluție (o singură pereche).

Metoda substituției

Ideea este să exprimăm o necunoscută în funcție de cealaltă dintr-o ecuație și să o înlocuim în cealaltă ecuație.

Alegem ecuația mai simplă și scoatem, de exemplu, pe $y$ în funcție de $x$ (sau invers).
Înlocuim expresia obținută în cealaltă ecuație; rezultă o ecuație cu o singură necunoscută.
Rezolvăm această ecuație și aflăm prima necunoscută.
Înlocuim valoarea găsită în expresia de la pasul 1 și aflăm a doua necunoscută.

De exemplu, din $x + y = 5$ scoatem $y = 5 - x$ ; înlocuind în $2x - y = 1$ obținem $2x - (5 - x) = 1 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ , deci $y = 3$ .

Metoda reducerii

Ideea este să eliminăm una dintre necunoscute prin adunarea sau scăderea ecuațiilor, după ce coeficienții acelei necunoscute devin numere opuse (sau egale).

Înmulțim, dacă e nevoie, fiecare ecuație cu un număr potrivit, astfel încât coeficienții uneia dintre necunoscute să devină numere opuse.
Adunăm ecuațiile membru cu membru; o necunoscută dispare și rămâne o ecuație cu o singură necunoscută.
Rezolvăm și aflăm prima necunoscută.
Înlocuim într-una dintre ecuațiile inițiale și aflăm a doua necunoscută.

De exemplu, la $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}$ coeficienții lui $y$ sunt deja opuși ( $+2$ și $-2$ ). Adunând ecuațiile: $8x = 8 \Rightarrow x = 1$ , apoi $3 \cdot 1 + 2y = 7 \Rightarrow y = 2$ .

Cum alegem metoda

Folosim substituția când o necunoscută are coeficientul $1$ sau $-1$ (se scoate ușor). Folosim reducerea când coeficienții unei necunoscute sunt deja egali sau opuși, ori se pot face astfel prin înmulțiri simple. Ambele metode duc la același rezultat.

Verificarea este obligatorie la examen: înlocuim perechea $(x, y)$ găsită în ambele ecuații și ne asigurăm că obținem egalități adevărate. Soluția se scrie ordonat, de forma $(x, y) = (2, 3)$ , sau $S = \{(2, 3)\}$ .

Formule

Forma generală a sistemului: $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$
Metoda substituției (exprimarea unei necunoscute): $x + y = s \Rightarrow y = s - x$
Metoda reducerii (eliminarea unei necunoscute): $(3x + 2y) + (5x - 2y) = 7 + 1 \Rightarrow 8x = 8$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Rezolvă prin metoda substituției sistemul $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$ .

Din prima ecuație scoatem $y$ : $y = 5 - x$ .

Înlocuim în a doua ecuație: $2x - (5 - x) = 1 \Rightarrow 2x - 5 + x = 1 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ .

Revenim: $y = 5 - x = 5 - 2 = 3$ .

Verificare: $x + y = 2 + 3 = 5$ ✓ și $2x - y = 4 - 3 = 1$ ✓.

Soluția sistemului este $(x, y) = (2, 3)$ .

Exemplul 2

Rezolvă prin metoda reducerii sistemul $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}$ .

Coeficienții lui $y$ sunt $+2$ și $-2$ (numere opuse), deci adunăm cele două ecuații membru cu membru:

$(3x + 2y) + (5x - 2y) = 7 + 1 \Rightarrow 8x = 8 \Rightarrow x = 1$ .

Înlocuim $x = 1$ în prima ecuație: $3 \cdot 1 + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$ .

Verificare: $3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 7$ ✓ și $5 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 1$ ✓.

Soluția sistemului este $(x, y) = (1, 2)$ .

Exemplul 3

Rezolvă sistemul $\begin{cases} 4x + 3y = 18 \\ 3x + 5y = 19 \end{cases}$ prin metoda reducerii.

Eliminăm pe $y$ : înmulțim prima ecuație cu $5$ și a doua cu $3$ , ca să obținem coeficienți egali ai lui $y$ :

$\begin{cases} 20x + 15y = 90 \\ 9x + 15y = 57 \end{cases}$

Scădem a doua din prima: $(20x - 9x) = 90 - 57 \Rightarrow 11x = 33 \Rightarrow x = 3$ .

Înlocuim în prima ecuație inițială: $4 \cdot 3 + 3y = 18 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$ .

Verificare: $4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 18$ ✓ și $3 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 19$ ✓. Soluția este $(3, 2)$ .

Greșeli frecvente

Se înlocuiește necunoscuta în **aceeași** ecuație din care a fost scoasă (se obține $0 = 0$). Corect: expresia lui $y$ se înlocuiește în **cealaltă** ecuație.
La metoda reducerii se **adună** ecuațiile când coeficienții sunt egali (nu opuși), astfel necunoscuta nu dispare. Corect: dacă sunt egali se **scade**, dacă sunt opuși se **adună**.
Se află doar o necunoscută și se uită revenirea pentru cealaltă. Soluția unui sistem este o **pereche** $(x, y)$, nu un singur număr.
Greșeli de semn la desfacerea parantezei: $2x - (5 - x) = 2x - 5 + x$, nu $2x - 5 - x$.
Nu se face verificarea în **ambele** ecuații; o pereche care verifică doar una nu este soluție a sistemului.

Pe scurt

Un sistem de două ecuații liniare cere perechea $(x, y)$ care verifică simultan ambele ecuații.
Substituția: scot o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiesc în cealaltă — util când un coeficient este $1$ sau $-1$ .
Reducerea: fac coeficienții unei necunoscute opuși (sau egali) și adun (sau scad) ecuațiile — util când coeficienții se potrivesc ușor.
După ce aflu o necunoscută, revin pentru a o afla pe cealaltă.
Verific întotdeauna soluția în ambele ecuații și o scriu ca pereche ordonată $(x, y)$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.