Probleme rezolvabile cu ecuații sau sisteme

Multe probleme din viața reală se rezolvă cel mai clar traducând enunțul în limbaj algebric: alegem necunoscute, scriem relațiile din text sub formă de ecuații și rezolvăm. Aceasta este ideea de la baza problemei 1 de la Subiectul al III-lea din examen.

Pașii rezolvării

Citim atent enunțul și stabilim ce ni se cere.
Alegem necunoscuta (necunoscutele) și notăm ce reprezintă fiecare literă — de exemplu, „fie $x$ prețul unui caiet, în lei".
Traducem în ecuații fiecare relație din text. Cuvintele-cheie ajută: suma → $+$ , diferența / cu ... mai mult / mai puțin → $\pm$ , de ... ori mai mare → înmulțire, dublul → $2x$ , triplul → $3x$ , jumătatea → $\dfrac{x}{2}$ .
Rezolvăm ecuația sau sistemul.
Verificăm rezultatul în enunț și interpretăm: dăm răspunsul complet, cu unități de măsură, și eliminăm soluțiile care nu au sens în context (de exemplu, o lungime nu poate fi negativă).

Cu o ecuație sau cu un sistem?

Dacă în problemă apare o singură mărime necunoscută, o notăm cu $x$ și scriem toate celelalte mărimi în funcție de $x$ . De exemplu: „Un creion costă cu $6$ lei mai puțin decât un stilou, iar împreună costă $14$ lei." Notăm cu $x$ prețul stiloului; atunci creionul costă $x - 6$ , iar ecuația este $x + (x - 6) = 14$ .

Dacă avem două mărimi legate prin două relații, este natural să folosim două necunoscute și un sistem. De exemplu: „ $3$ caiete și $2$ pixuri costă $23$ lei; $2$ caiete și $5$ pixuri costă $30$ lei." Notăm cu $c$ prețul unui caiet și cu $p$ prețul unui pix; obținem $\begin{cases} 3c + 2p = 23 \\ 2c + 5p = 30 \end{cases}$ .

Tipuri frecvente de probleme

Numere: suma și diferența a două numere, numere consecutive ( $n$ și $n+1$ ), câtul și restul împărțirii.
Prețuri și cumpărături: două produse cumpărate în combinații diferite.
Vârste: relații „acum" și „peste / acum câțiva ani" (atenție: peste $k$ ani, fiecare vârstă crește cu $k$ ).
Geometrie: perimetre și dimensiuni (lungime dublul lățimii etc.).
Amestecuri simple de tipul găini–iepuri (capete și picioare).

Cheia notei maxime este justificarea: la Subiectul al III-lea se punctează atât ecuația scrisă corect din enunț, cât și interpretarea finală a rezultatului. Nu este suficient „răspunsul"; trebuie arătat cum a fost obținut.

Formule

Două numere prin sumă și diferență: $\begin{cases} x + y = S \\ x - y = D \end{cases} \Rightarrow x = \dfrac{S+D}{2},\ y = \dfrac{S-D}{2}$
Numere consecutive: $n,\ n+1,\ n+2,\ \dots$
Împărțirea cu rest: $D = \hat{I} \cdot c + r,\quad 0 \le r < \hat{I}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Suma a două numere este $30$ , iar diferența lor este $8$ . Află cele două numere.

Notăm numerele cu $x$ (cel mai mare) și $y$ (cel mai mic). Traducem enunțul:

$\begin{cases} x + y = 30 \\ x - y = 8 \end{cases}$

Adunăm ecuațiile: $2x = 38 \Rightarrow x = 19$ . Apoi $19 - y = 8 \Rightarrow y = 11$ .

Verificare: $19 + 11 = 30$ ✓ și $19 - 11 = 8$ ✓. Numerele sunt $19$ și $11$ .

Exemplul 2

La un magazin, $3$ caiete și $2$ pixuri costă $23$ de lei, iar $2$ caiete și $5$ pixuri costă $30$ de lei. Află prețul unui caiet și al unui pix.

Notăm cu $c$ prețul unui caiet și cu $p$ prețul unui pix (în lei). Din enunț:

$\begin{cases} 3c + 2p = 23 \\ 2c + 5p = 30 \end{cases}$

Folosim metoda reducerii pentru a elimina pe $p$ : înmulțim prima ecuație cu $5$ și a doua cu $2$ :

$\begin{cases} 15c + 10p = 115 \\ 4c + 10p = 60 \end{cases}$

Scădem: $11c = 55 \Rightarrow c = 5$ . Apoi $3 \cdot 5 + 2p = 23 \Rightarrow 2p = 8 \Rightarrow p = 4$ .

Verificare: $3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 = 23$ ✓ și $2 \cdot 5 + 5 \cdot 4 = 30$ ✓. Un caiet costă $5$ lei, un pix costă $4$ lei.

Greșeli frecvente

Nu se precizează ce reprezintă necunoscutele. Corect: se scrie explicit „fie $x$ = ...", altfel rezolvarea nu poate fi urmărită și se pierd puncte.
La problemele de vârstă, „peste $k$ ani" se aplică doar unei persoane. Corect: **fiecare** vârstă crește cu $k$, deci apar $(x + k)$ și $(y + k)$.
„De $3$ ori mai mare" se traduce greșit prin $x + 3$. Corect: $3x$; iar „cu $3$ mai mare" înseamnă $x + 3$.
Se dă răspunsul fără interpretare și fără unități de măsură, sau se acceptă o soluție fără sens (lungime negativă, număr de obiecte fracționar).
Se rezolvă doar ecuația și se uită verificarea în enunțul inițial, nu doar în ecuația scrisă.

Pe scurt

Traduc enunțul în limbaj algebric: aleg și notez clar necunoscutele, apoi scriu relațiile ca ecuații.
Cuvinte-cheie: suma $\to +$ , diferența $\to -$ , dublul/triplul $\to 2x, 3x$ , de $k$ ori mai mare $\to$ înmulțire.
O singură mărime necunoscută $\to$ o ecuație; două mărimi cu două relații $\to$ un sistem.
Rezolv, apoi verific în enunț și interpretez rezultatul, cu unități de măsură.
Elimin soluțiile fără sens în context (negative, nenaturale acolo unde nu se poate).

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.