Ecuația de gradul al II-lea

Ecuația de gradul al II-lea este o ecuație de forma $ax^2 + bx + c = 0$ , unde $a, b, c$ sunt numere reale, iar $a \ne 0$ (coeficientul lui $x^2$ trebuie să fie nenul). Numerele reale $x$ care verifică egalitatea se numesc soluțiile (rădăcinile) ecuației. O ecuație de gradul al II-lea poate avea două soluții, una singură (dublă) sau niciuna reală.

La acest nivel rezolvăm ecuația prin descompunere în factori, folosind cunoștințele despre descompuneri și formulele de calcul prescurtat. Ideea cheie este factorul nul: dacă un produs de doi factori este $0$ , atunci cel puțin unul dintre factori este $0$ : $A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0$ sau $B = 0$ .

Cazul 1 — factor comun ( $c = 0$ )

Dacă lipsește termenul liber, dăm $x$ factor comun: $ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0$ , de unde $x = 0$ sau $ax + b = 0$ . De exemplu, $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\ x_2 = 4$ .

Cazul 2 — diferență de pătrate ( $b = 0$ )

Dacă lipsește termenul de gradul întâi, folosim $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ . De exemplu, $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 3,\ x_2 = -3$ .

Cazul 3 — pătrat perfect

Dacă expresia este de forma $(x \pm m)^2$ , recunoaștem formula $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ . De exemplu, $x^2 - 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$ (soluție dublă).

Cazul 4 — trinomul $x^2 - Sx + P$ (sumă și produs)

Pentru un trinom cu $a = 1$ , căutăm două numere $x_1$ și $x_2$ cu suma $S$ și produsul $P$ , unde $S$ este opusul coeficientului lui $x$ , iar $P$ este termenul liber. Atunci $x^2 - Sx + P = (x - x_1)(x - x_2)$ . De exemplu, la $x^2 - 5x + 6 = 0$ căutăm două numere cu suma $5$ și produsul $6$ : acestea sunt $2$ și $3$ , deci $(x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 2,\ x_2 = 3$ .

În practică ne întrebăm: „ce pereche de numere întregi are produsul egal cu termenul liber și suma egală cu opusul coeficientului din mijloc?" Verificăm câteva perechi de divizori ai termenului liber până le găsim.

Verificarea

Orice soluție se verifică înlocuind-o în ecuația inițială. La problemele din context real (de exemplu, o arie sau o lungime), respingem soluțiile care nu au sens (numere negative pentru lungimi). Ecuația de gradul al II-lea nu intră în programa simulării din martie, dar face parte din programa examenului din iunie; se rezolvă întotdeauna prin descompuneri, fără formula discriminantului.

Formule

Factorul nul: $A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ sau } B = 0$
Factor comun: $ax^2 + bx = x(ax + b)$
Diferență de pătrate: $x^2 - m^2 = (x - m)(x + m)$
Pătrat perfect: $x^2 \pm 2mx + m^2 = (x \pm m)^2$
Trinomul (sumă și produs): $x^2 - Sx + P = (x - x_1)(x - x_2),\ x_1 + x_2 = S,\ x_1 x_2 = P$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Căutăm două numere cu produsul $6$ (termenul liber) și suma $5$ (opusul coeficientului lui $x$ ). Acestea sunt $2$ și $3$ .

Descompunem: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ , deci ecuația devine $(x - 2)(x - 3) = 0$ .

Un produs este $0$ când un factor este $0$ : $x - 2 = 0$ sau $x - 3 = 0$ , adică $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ .

Verificare: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ ✓ și $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ ✓.

Exemplul 2

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2 - 9 = 0$ .

Recunoaștem o diferență de pătrate: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$ .

Ecuația devine $(x - 3)(x + 3) = 0 \Rightarrow x - 3 = 0$ sau $x + 3 = 0$ , deci $x_1 = 3$ , $x_2 = -3$ .

Verificare: $3^2 - 9 = 0$ ✓ și $(-3)^2 - 9 = 0$ ✓.

Exemplul 3

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Recunoaștem un pătrat perfect: $x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2 = (x - 3)^2$ .

Ecuația devine $(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ (soluție dublă).

Verificare: $3^2 - 6 \cdot 3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$ ✓.

Greșeli frecvente

Se „simplifică" prin $x$ la ecuația $x^2 - 4x = 0$ și se pierde soluția $x = 0$. Corect: se dă factor comun $x(x - 4) = 0$, care păstrează **ambele** soluții.
La $x^2 - 9 = 0$ se scrie doar $x = 3$. Corect: $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$; diferența de pătrate dă **două** soluții, $3$ și $-3$.
La trinom se aleg numere cu suma corectă dar produsul greșit (sau invers). Corect: perechea trebuie să aibă **și** suma $S$, **și** produsul $P$; se verifică ambele condiții.
Greșeli de semn la $x^2 - Sx + P$: la $x^2 - 5x + 6$ soluțiile sunt $+2$ și $+3$ (nu $-2, -3$), deoarece produsul e $+6$ și suma $+5$.
Nu se resping soluțiile fără sens în probleme cu arii/lungimi. Corect: o dimensiune trebuie să fie pozitivă, deci soluția negativă se elimină.

Pe scurt

Ecuația $ax^2 + bx + c = 0$ (cu $a \ne 0$ ) se rezolvă prin descompunere în factori, folosind factorul nul $A \cdot B = 0$ .
Fără termen liber: factor comun, $x(ax + b) = 0$ (nu pierde soluția $x = 0$ ).
Fără termenul de gradul întâi: diferență de pătrate, $x^2 - m^2 = (x - m)(x + m)$ , deci $x = \pm m$ .
Trinom $x^2 - Sx + P$ : caut două numere cu suma $S$ și produsul $P$ .
Verific soluțiile și resping valorile fără sens în context. Nu folosesc formula discriminantului.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.