Funcții definite pe mulțimi finite; graficul unei funcții

Noțiunea de funcție

Fie $A$ și $B$ două mulțimi nevide. O funcție definită pe $A$ cu valori în $B$ este o regulă (lege de corespondență) prin care fiecărui element $x \in A$ i se asociază un singur element din $B$ . Scriem $f : A \to B$ .

Mulțimea $A$ se numește domeniul de definiție al funcției;
Mulțimea $B$ se numește codomeniul funcției;
Elementul asociat lui $x$ se notează $f(x)$ și se numește imaginea lui $x$ prin $f$ (sau valoarea funcției în $x$ ).

Condiția esențială este: fiecărui $x$ din domeniu îi corespunde exact o valoare $f(x)$ . Dacă un element din $A$ nu are imagine, sau are două imagini diferite, corespondența nu este funcție.

Moduri de a defini o funcție

O funcție pe o mulțime finită poate fi dată în trei feluri echivalente:

1. Printr-o diagramă (cu săgeți). Elementele lui $A$ și $B$ se scriu în două „ovale”, iar săgețile arată corespondența. Este funcție dacă din fiecare element al lui $A$ pleacă exact o săgeată.

2. Printr-un tabel de valori. Pe primul rând se trec elementele domeniului, iar pe al doilea imaginile lor:

$x$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$4$	$7$	$10$

3. Printr-o formulă. De exemplu $f : \{1, 2, 3\} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 3x + 1$ . Calculăm imaginile înlocuind: $f(1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$ , $f(2) = 7$ , $f(3) = 10$ (aceleași valori ca în tabelul de mai sus).

Graficul unei funcții

Graficul funcției $f : A \to B$ este mulțimea perechilor ordonate $(x, f(x))$ , cu $x$ parcurgând domeniul: $G_f = \{(x, f(x)) \mid x \in A\}.$ Aceste perechi sunt coordonatele unor puncte în sistemul de axe $xOy$ . Pentru o funcție definită pe o mulțime finită, graficul este o mulțime finită de puncte (nu o linie continuă). De exemplu, pentru funcția din tabel, graficul este format din punctele $(1, 4)$ , $(2, 7)$ și $(3, 10)$ .

Un punct $P(x_0, y_0)$ aparține graficului dacă $y_0 = f(x_0)$ , adică dacă coordonatele lui verifică legea funcției. De exemplu, punctul $(2, 7)$ aparține graficului lui $f(x) = 3x + 1$ , deoarece $f(2) = 7$ ; în schimb $(2, 5)$ nu aparține, pentru că $f(2) = 7 \ne 5$ .

Citirea informațiilor de pe grafic

Dintr-un grafic putem citi direct valorile funcției: pentru a afla $f(a)$ , găsim punctul de abscisă $a$ și îi citim ordonata. Invers, pentru a afla pentru ce valoare a lui $x$ avem $f(x) = b$ , căutăm punctul de ordonată $b$ și îi citim abscisa.

Formule

Funcție: $f : A \to B,\quad x \mapsto f(x)$
Graficul funcției: $G_f = \{(x, f(x)) \mid x \in A\}$
Apartenența unui punct la grafic: $P(x_0, y_0) \in G_f \iff y_0 = f(x_0)$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Se consideră funcția $f : \{-1, 0, 2\} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x - 3$ . Alcătuiți tabelul de valori și scrieți graficul funcției.

Calculăm imaginea fiecărui element din domeniu: $f(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5,$ $f(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3,$ $f(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1.$ Tabelul de valori:

$x$	$-1$	$0$	$2$
$f(x)$	$-5$	$-3$	$1$

Graficul este mulțimea punctelor: $G_f = \{(-1, -5),\ (0, -3),\ (2, 1)\}.$

Exemplul 2

Fie funcția $f : \{0, 1, 2, 3\} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 - 1$ . Verificați dacă punctele $A(2, 3)$ și $B(3, 7)$ aparțin graficului funcției.

Un punct $(x_0, y_0)$ aparține graficului dacă $y_0 = f(x_0)$ .

Pentru $A(2, 3)$ : calculăm $f(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ . Deoarece $3 = 3$ , punctul $A$ aparține graficului.

Pentru $B(3, 7)$ : calculăm $f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ . Deoarece $8 \ne 7$ , punctul $B$ nu aparține graficului.

Greșeli frecvente

Considerarea drept funcție a unei corespondențe în care un element din domeniu are două imagini (două săgeți) sau nicio imagine. Fiecare $x$ din domeniu trebuie să aibă exact o valoare $f(x)$.
Confuzia dintre domeniu și codomeniu, respectiv dintre $x$ (argument) și $f(x)$ (valoare). În perechea $(x, f(x))$, prima coordonată este argumentul, a doua este valoarea.
Reprezentarea graficului unei funcții definite pe o mulțime finită printr-o linie continuă. Graficul este format doar din punctele izolate $(x, f(x))$.
La verificarea apartenenței unui punct la grafic se compară greșit coordonatele: se calculează $f(x_0)$ și se compară cu $y_0$, nu cu $x_0$.

Pe scurt

O funcție $f : A \to B$ asociază fiecărui $x \in A$ (domeniu) exact o valoare $f(x) \in B$ (codomeniu).
Se poate defini prin diagramă, tabel de valori sau formulă — moduri echivalente.
Graficul este mulțimea punctelor $(x, f(x))$ ; pe mulțime finită, graficul este o mulțime finită de puncte.
$P(x_0, y_0)$ aparține graficului $\iff f(x_0) = y_0$ .
Dintr-un grafic se citește $f(a)$ ca ordonata punctului de abscisă $a$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.