Rapoarte și proporții

Rapoarte

Raportul a două numere $a$ și $b$ (cu $b\neq 0$ ) este câtul $a:b=\dfrac{a}{b}$ . Numărul $a$ se numește antecedent, iar $b$ se numește consecvent. Un raport se poate simplifica la fel ca o fracție, împărțind ambii termeni prin cel mai mare divizor comun al lor.

Când raportul se formează din două mărimi (lungimi, mase, prețuri etc.), termenii trebuie exprimați în aceeași unitate de măsură înainte de a scrie raportul; altfel raportul nu are sens.

Proporții

O proporție este o egalitate a două rapoarte: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ , cu $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ , $b,d\neq0$ . Se citește „ $a$ este la $b$ precum $c$ este la $d$ ” și se notează și $a:b=c:d$ . Numerele $a$ și $d$ se numesc extremi, iar $b$ și $c$ se numesc mezi.

Proprietatea fundamentală a proporțiilor

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Longleftrightarrow\ a\cdot d=b\cdot c$

adică produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Această proprietate este cheia pentru aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție și pentru a verifica dacă patru numere date, luate în această ordine, formează sau nu o proporție.

Aflarea termenului necunoscut

Dacă unul dintre cei patru termeni este necunoscut, el se izolează folosind proprietatea fundamentală. De exemplu, din $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{x}$ rezultă $a\cdot x=b\cdot c$ , deci $x=\dfrac{b\cdot c}{a}$ . În mod analog se obțin formulele pentru celelalte trei poziții posibile ale necunoscutei.

Proporții derivate

Dintr-o proporție dată $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ se pot obține alte proporții adevărate, foarte utile în probleme, fără a mai calcula valorile efective:

inversarea: $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$ ;
schimbarea mezilor: $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$ ;
schimbarea extremilor: $\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$ ;
cu sumă: $\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$ ;
cu diferență: $\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}$ (dacă $a\neq b$ , respectiv $c\neq d$ );
combinată: $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$ (dacă $a\neq b$ ).

Aceste transformări nu schimbă valoarea comună a rapoartelor, ci doar rescriu proporția într-o formă echivalentă, adesea mult mai ușor de folosit atunci când problema dă suma sau diferența celor doi termeni ai unui raport.

Formule

Raport: $a:b=\dfrac{a}{b},\ b\neq 0$
Proporție: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
Proprietatea fundamentală a proporțiilor: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Longleftrightarrow\ a\cdot d=b\cdot c$
Aflarea unui mediu necunoscut: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{x}\ \Rightarrow\ x=\dfrac{b\cdot c}{a}$
Proporție derivată prin inversare: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Rightarrow\ \dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$
Proporție derivată prin schimbarea mezilor: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Rightarrow\ \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$
Proporție derivată cu sumă: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Rightarrow\ \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$
Proporție derivată cu diferență: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Rightarrow\ \dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Aflați $x$ din proporția $\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{20}$ .

Aplicăm proprietatea fundamentală: $3\cdot 20=4\cdot x$ , deci $4x=60$ , de unde $x=15$ .

Exemplul 2

Verificați dacă numerele $6,\ 8,\ 15,\ 20$ , luate în această ordine, formează o proporție.

Extremii sunt $6$ și $20$ , mezii sunt $8$ și $15$ . Calculăm: $6\cdot 20=120$ și $8\cdot 15=120$ . Cum produsul extremilor este egal cu produsul mezilor, cele patru numere formează proporția $\dfrac{6}{8}=\dfrac{15}{20}$ .

Exemplul 3

Suma a două numere este $91$ , iar raportul lor este $\dfrac{4}{9}$ . Aflați cele două numere.

Notăm cele două numere $a$ și $b$ , cu $\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{9}$ . Folosim proporția derivată cu sumă: $\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{4+9}{9}=\dfrac{13}{9}$ . Cum $a+b=91$ , obținem $\dfrac{91}{b}=\dfrac{13}{9}$ , deci $13b=91\cdot 9$ , adică $b=63$ . Atunci $a=91-63=28$ . Verificare: $\dfrac{28}{63}=\dfrac{4}{9}$ .

Greșeli frecvente

Confuzia dintre extremi și mezi: în $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, extremii sunt $a$ și $d$ (primul și ultimul termen din scrierea $a:b=c:d$), iar mezii sunt $b$ și $c$, nu invers.
Aplicarea greșită a proprietății fundamentale, prin înmulțirea unor termeni greșiți (de exemplu $a\cdot c=b\cdot d$ în loc de $a\cdot d=b\cdot c$).
Scrierea unui raport între mărimi exprimate în unități de măsură diferite (de exemplu metri și centimetri) fără a le aduce mai întâi la aceeași unitate.
La proporțiile derivate cu diferență, uitarea faptului că formula este valabilă doar dacă termenii care se scad nu sunt egali (numitorul nu poate fi zero).

Pe scurt

Raportul a două numere: $a:b=\dfrac{a}{b}$ , $b\neq 0$ ; termenii trebuie exprimați în aceeași unitate de măsură.
Proporția $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ are extremii $a,d$ și mezii $b,c$ .
Proprietatea fundamentală: $a\cdot d=b\cdot c$ — se folosește pentru a afla termenul necunoscut sau pentru a verifica dacă patru numere formează o proporție.
Proporțiile derivate (cu sumă, cu diferență, prin schimbarea mezilor/extremilor) sunt utile mai ales când problema dă suma sau diferența termenilor unui raport.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.