Șirul de rapoarte egale. Mărimi proporționale. Regula de trei simplă

Șirul de rapoarte egale

Când avem mai mult de două rapoarte egale, $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}=k$, spunem că formează un șir de rapoarte egale. Proprietatea de bază este:

$\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}$

adică suma numărătorilor împărțită la suma numitorilor dă tot valoarea comună $k$. Această proprietate se folosește foarte des pentru a împărți un număr în părți proporționale cu niște numere date: dacă trebuie împărțit $S$ în părți direct proporționale cu $p_1,p_2,\ldots,p_n$, notăm fiecare parte $x_i=k\cdot p_i$ și, cum $x_1+x_2+\cdots+x_n=S$, rezultă $k=\dfrac{S}{p_1+p_2+\cdots+p_n}$.

Mărimi direct proporționale

Două mărimi variabile $x$ și $y$ sunt direct proporționale dacă raportul valorilor corespunzătoare este constant: $\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}=k$ (echivalent, $y=k\cdot x$). Practic, dacă $x$ crește de un anumit număr de ori, $y$ crește de același număr de ori (și la fel la scădere). Exemple: cantitatea de marfă și prețul plătit (la preț unitar fix); distanța parcursă și timpul, la viteză constantă.

Mărimi invers proporționale

Două mărimi $x$ și $y$ sunt invers proporționale dacă produsul valorilor corespunzătoare este constant: $x_1\cdot y_1=x_2\cdot y_2=k$. Dacă $x$ crește de un anumit număr de ori, $y$ scade de același număr de ori. Exemple: numărul de muncitori și numărul de zile necesare pentru a termina o lucrare (la ritm constant de lucru); viteza și timpul necesar pentru a parcurge o distanță fixă.

Regula de trei simplă

Este metoda practică de rezolvare a problemelor cu două mărimi proporționale, atunci când se cunosc trei valori și trebuie aflată a patra.

• Pentru mărimi direct proporționale: se scrie proporția $\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}$ și se află necunoscuta cu proprietatea fundamentală.
• Pentru mărimi invers proporționale: se scrie egalitatea produselor $x_1\cdot y_1=x_2\cdot y_2$, sau echivalent proporția $\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_2}{y_1}$ (rapoartele se „inversează”).

Pasul esențial, înainte de a scrie orice proporție, este să stabilim corect tipul de proporționalitate: ne întrebăm dacă, atunci când o mărime crește, cealaltă crește (direct) sau scade (invers), în contextul concret al problemei.