Probabilități

Experiment aleator și eveniment

Un experiment aleator este o acțiune al cărei rezultat nu poate fi prevăzut cu certitudine (aruncarea unui zar, extragerea unei bile dintr-un săculeț, alegerea unui elev la întâmplare etc.). Fiecare rezultat posibil al experimentului se numește caz posibil. Un eveniment este o situație descrisă printr-o condiție (de exemplu „a apărut un număr par”), care poate fi adevărată sau falsă în urma experimentului.

Un eveniment care se realizează întotdeauna se numește eveniment sigur (probabilitate $1$ ).
Un eveniment care nu se realizează niciodată se numește eveniment imposibil (probabilitate $0$ ).

Cazuri favorabile și cazuri posibile

Pentru un eveniment dat, cazurile favorabile sunt acele cazuri posibile care satisfac condiția evenimentului. Numărul total al tuturor rezultatelor pe care le poate avea experimentul reprezintă numărul cazurilor posibile.

Este esențial ca toate cazurile posibile să fie egal probabile (de exemplu un zar sau o monedă corecte, bile identice ca formă și mărime, diferite doar prin culoare) — altfel formula de mai jos nu se aplică direct.

Formula probabilității

$P(\text{eveniment})=\dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$

Probabilitatea este întotdeauna un număr cuprins între $0$ și $1$ (sau, exprimată procentual, între $0\%$ și $100\%$ ): $0\leq P(\text{eveniment})\leq 1$ .

Etapele rezolvării unei probleme de probabilitate

Se identifică toate cazurile posibile ale experimentului și se numără corect (fără a omite sau a repeta vreun rezultat).
Se identifică, dintre acestea, cazurile care satisfac condiția evenimentului (cazurile favorabile) și se numără.
Se scrie raportul $\dfrac{\text{favorabile}}{\text{posibile}}$ și se simplifică, dacă este posibil.

Exemple de contexte tipice

Zar: $6$ cazuri posibile (fețele $1$ – $6$ ), toate egal probabile.
Monedă: $2$ cazuri posibile (stemă, valoare).
Extragerea unei bile dintr-un săculeț cu bile de culori diferite: numărul cazurilor posibile este numărul total de bile, iar cazurile favorabile sunt bilele de culoarea cerută.
Alegerea unui element dintr-o mulțime dată (de exemplu un număr dintr-un interval de numere naturale, sau un elev dintr-o clasă): se numără cu grijă câte elemente satisfac condiția.

Această temă este, de fapt, o aplicație directă a noțiunii de raport: probabilitatea nu este altceva decât raportul dintre două numere naturale (cazuri favorabile și cazuri posibile), motiv pentru care se simplifică și se compară exact ca orice alt raport.

Formule

Probabilitatea unui eveniment: $P(\text{eveniment})=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$
Domeniul probabilității: $0\leq P(\text{eveniment})\leq 1$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Se aruncă un zar corect, cu fețele numerotate de la $1$ la $6$ . Care este probabilitatea de a obține un număr par?

Cazurile posibile sunt $\{1,2,3,4,5,6\}$ , deci $6$ cazuri posibile. Numerele pare sunt $\{2,4,6\}$ , deci $3$ cazuri favorabile. Rezultă $P=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ .

Exemplul 2

Într-un săculeț sunt $5$ bile roșii, $3$ bile albastre și $2$ bile verzi, identice ca formă și mărime. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie albastră?

Numărul total de bile (cazuri posibile) este $5+3+2=10$ . Bilele albastre (cazuri favorabile) sunt $3$ . Rezultă $P=\dfrac{3}{10}$ .

Exemplul 3

Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,3,\ldots,20\}$ . Care este probabilitatea ca numărul ales să fie multiplu de $3$ ?

Cazurile posibile sunt cele $20$ de numere. Multiplii lui $3$ din mulțime sunt $3,6,9,12,15,18$ , deci $6$ cazuri favorabile. Rezultă $P=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$ .

Greșeli frecvente

Se confundă numărul cazurilor posibile cu numărul cazurilor favorabile, sau se numără greșit unul dintre cele două (de exemplu se omit rezultate posibile).
Nu se simplifică fracția finală, deși problema cere rezultatul sub formă de fracție ireductibilă.
La experimente cu două obiecte (de exemplu două zaruri aruncate simultan), se numără greșit cazurile posibile — sunt $36$ de perechi ordonate, nu $12$ sau $6$.
Se scrie probabilitatea ca procent fără a verifica dacă enunțul cere acest lucru, sau se rotunjește rezultatul fără să fie necesar.

Pe scurt

Probabilitate $=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$ , cu $0\leq P\leq 1$ .
Eveniment sigur: $P=1$ ; eveniment imposibil: $P=0$ .
Cazurile posibile trebuie să fie egal probabile pentru a aplica direct formula.
Probabilitatea este, de fapt, un raport — se simplifică la fel ca orice fracție.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.