Indicatorii tendinței centrale: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

Frecvența

Într-un set de date, frecvența absolută a unei valori este numărul de apariții ale acelei valori în set. Frecvența relativă (procentuală) este raportul dintre frecvența absolută a valorii și numărul total de date, înmulțit cu $100$ . Datele se organizează adesea într-un tabel de frecvențe, cu o coloană pentru valori și una pentru frecvențele lor.

Media

Media aritmetică a unui set de $n$ date $x_1,x_2,\ldots,x_n$ este $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ . Când datele sunt organizate într-un tabel de frecvențe (valoarea $x_i$ apare de $f_i$ ori), se folosește media ponderată:

$\bar{x}=\dfrac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{f_1+f_2+\cdots+f_k}$

Mediana

Mediana este valoarea aflată exact la mijlocul unui set de date ordonat crescător (sau descrescător). Regula de calcul:

dacă numărul de date $n$ este impar, mediana este valoarea de pe poziția $\dfrac{n+1}{2}$ ;
dacă $n$ este par, mediana este media aritmetică a valorilor de pe pozițiile $\dfrac{n}{2}$ și $\dfrac{n}{2}+1$ .

Este esențial ca datele să fie ordonate înainte de a identifica poziția mediană — o greșeală frecventă este calcularea medianei direct din datele neordonate.

Modul

Modul (valoarea modală) este valoarea (sau valorile) cu frecvența cea mai mare dintr-un set de date. Un set poate avea un singur mod, mai multe moduri (dacă mai multe valori au aceeași frecvență maximă) sau, dacă toate valorile au aceeași frecvență, se consideră că setul nu are un mod distinct.

Amplitudinea

Amplitudinea unui set de date este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare din set: $A=x_{\max}-x_{\min}$ . Amplitudinea arată cât de „împrăștiate” sunt datele.

Poligonul frecvențelor

Poligonul frecvențelor este o reprezentare grafică obținută astfel: pe orizontală se marchează valorile datelor, iar pe verticală frecvențele lor; se marchează punctele de coordonate (valoare, frecvență), apoi aceste puncte se unesc, în ordine, prin segmente. Este util pentru a vizualiza rapid distribuția datelor (unde sunt concentrate valorile, unde sunt frecvențe mici).

Acești patru indicatori — medie, mediană, mod, amplitudine — descriu împreună un set de date: media arată „valoarea tipică”, mediana arată „mijlocul” datelor (mai puțin sensibilă la valori extreme decât media), modul arată valoarea cea mai frecventă, iar amplitudinea arată cât de răspândite sunt datele.

Formule

Media aritmetică: $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$
Media ponderată (cu frecvențe): $\bar{x}=\dfrac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{f_1+f_2+\cdots+f_k}$
Amplitudinea: $A=x_{\max}-x_{\min}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Notele obținute de un elev la $7$ teste sunt: $8,9,7,10,8,9,8$ . Aflați media, mediana, modul și amplitudinea acestui set de date.

Media: $\bar{x}=\dfrac{8+9+7+10+8+9+8}{7}=\dfrac{59}{7}\approx8{,}43$ .

Mediana: ordonăm datele crescător: $7,8,8,8,9,9,10$ . Cum $n=7$ (impar), mediana este valoarea de pe poziția $\dfrac{7+1}{2}=4$ , adică $8$ .

Modul: valoarea $8$ apare de $3$ ori, mai des decât oricare altă valoare, deci modul este $8$ .

Amplitudinea: $A=10-7=3$ .

Exemplul 2

Un tabel de frecvențe arată numărul de frați și surori pentru $20$ de elevi dintr-o clasă:

Nr. frați/surori	0	1	2	3
Frecvență	6	9	4	1

Aflați media numărului de frați și surori pe elev.

Verificăm totalul frecvențelor: $6+9+4+1=20$ (corespunde celor $20$ de elevi). Media ponderată este: $\bar{x}=\dfrac{0\cdot6+1\cdot9+2\cdot4+3\cdot1}{20}=\dfrac{0+9+8+3}{20}=\dfrac{20}{20}=1$ Așadar, în medie, fiecare elev are $1$ frate sau soră.

Exemplul 3

Un set de $6$ date, ordonate crescător, este $4,5,7,9,10,12$ . Aflați mediana.

Cum $n=6$ (par), mediana este media aritmetică a valorilor de pe pozițiile $\dfrac{6}{2}=3$ și $\dfrac{6}{2}+1=4$ , adică a valorilor $7$ și $9$ : mediana $=\dfrac{7+9}{2}=8$ .

Greșeli frecvente

Calcularea medianei fără a ordona mai întâi datele crescător (sau descrescător) — poziția mediană se identifică doar în șirul ordonat.
Confuzia dintre medie și mediană: media este suma valorilor împărțită la numărul lor, în timp ce mediana este valoarea (sau media celor două valori) din mijlocul șirului ordonat; de multe ori cele două sunt diferite.
Confundarea modului cu frecvența sa: modul este **valoarea** care apare cel mai des, nu numărul de apariții.
La un număr par de date, uitarea faptului că mediana este media aritmetică a celor două valori centrale, nu doar una dintre ele.

Pe scurt

Frecvența absolută = numărul de apariții; frecvența relativă = frecvența absolută raportată la total, în procente.
Media: $\bar{x}=\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}$ ; cu frecvențe, media ponderată $\bar{x}=\dfrac{\sum x_if_i}{\sum f_i}$ .
Mediana: valoarea din mijlocul datelor ordonate ( $n$ impar) sau media celor două valori centrale ( $n$ par).
Modul: valoarea cu frecvența cea mai mare. Amplitudinea: $A=x_{\max}-x_{\min}$ .
Poligonul frecvențelor: unește prin segmente punctele (valoare, frecvență).

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.