Corpurile geometrice: piramida, prisma, paralelipipedul, cubul, cilindrul, conul — elemente, reprezentare, desfășurări

Corpurile geometrice sunt figuri din spațiu, mărginite de suprafețe. Le împărțim în poliedre (mărginite numai de fețe plane poligonale) și corpuri rotunde (care au și suprafețe curbe). În clasa a VIII-a studiem: piramida, piramida regulată, tetraedrul regulat, prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic și cubul (poliedre), respectiv cilindrul circular drept și conul circular drept (corpuri rotunde).

Elementele unui poliedru

Un poliedru are: fețe (poligoanele care îl mărginesc), muchii (segmentele de intersecție a două fețe vecine) și vârfuri (punctele în care se întâlnesc muchiile). La orice poliedru convex este adevărată relația lui Euler: $V - M + F = 2$ , unde $V$ = numărul de vârfuri, $M$ = numărul de muchii, $F$ = numărul de fețe. De exemplu, cubul are $V = 8$ , $M = 12$ , $F = 6$ și $8 - 12 + 6 = 2$ .

Prisma dreaptă are două baze poligonale congruente și paralele, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri perpendiculare pe baze; muchiile laterale sunt egale între ele și cu înălțimea prismei. Paralelipipedul dreptunghic este o prismă dreaptă cu baza dreptunghi: are $6$ fețe dreptunghiulare, $12$ muchii și $8$ vârfuri, iar cele trei dimensiuni sunt $a$ , $b$ , $c$ . Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile egale ( $a = b = c = l$ ); toate cele $6$ fețe sunt pătrate.

Piramida are o singură bază (un poligon) și un vârf care nu se află în planul bazei; fețele laterale sunt triunghiuri. Înălțimea piramidei este segmentul dus din vârf, perpendicular pe planul bazei. La piramida regulată baza este un poligon regulat, iar vârful se proiectează în centrul bazei; apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale (dusă din vârf pe muchia bazei), iar apotema bazei este apotema poligonului de bază. Tetraedrul regulat este piramida cu toate cele patru fețe triunghiuri echilaterale congruente. O piramidă cu baza cu $n$ laturi are $n+1$ vârfuri, $2n$ muchii și $n+1$ fețe.

Cilindrul circular drept are două baze cercuri congruente, situate în plane paralele, unite printr-o suprafață curbă; generatoarea este segmentul care unește cele două baze, perpendicular pe ele — lungimea generatoarei este egală cu înălțimea cilindrului. Raza cilindrului este raza bazei. Conul circular drept are o bază cerc și un vârf; generatoarea este segmentul care unește vârful cu un punct de pe cercul bazei, iar înălțimea unește vârful cu centrul bazei. Într-un con, generatoarea $G$ , înălțimea $h$ și raza $R$ formează un triunghi dreptunghic: $G^2 = h^2 + R^2$ .

Reprezentarea în perspectivă

Corpurile se desenează în perspectivă: fețele văzute din față se reprezintă în adevărată formă sau ușor deformate, iar adâncimea se sugerează prin linii oblice. Regula esențială este că muchiile ascunse (cele care nu s-ar vedea privind corpul opac) se desenează cu linie întreruptă (punctată), iar muchiile vizibile cu linie continuă. Un pătrat din spațiu apare adesea ca un paralelogram, iar un cerc de bază apare ca o elipsă.

Desfășurarea (desfășurări)

Desfășurarea unui corp este figura plană obținută prin „despăturirea" suprafeței sale. Desfășurarea cubului este formată din $6$ pătrate; a paralelipipedului din $6$ dreptunghiuri (câte două congruente). Suprafața laterală a cilindrului, desfășurată, este un dreptunghi cu o latură egală cu circumferința bazei ( $2\pi R$ ) și cealaltă egală cu înălțimea; la ea se adaugă cele două cercuri ale bazelor. Suprafața laterală a conului, desfășurată, este un sector de cerc de rază $G$ (generatoarea), la care se adaugă cercul bazei. Desfășurările sunt utile pentru a înțelege ariile corpurilor, studiate în lecțiile următoare.

Formule

Relația lui Euler (poliedru convex): $V - M + F = 2$
Diagonala feței cubului: $d_{f} = l\sqrt{2}$
Diagonala cubului: $d = l\sqrt{3}$
Diagonala paralelipipedului dreptunghic: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
Generatoarea conului circular drept: $G^2 = h^2 + R^2$
Generatoarea (înălțimea) cilindrului: $G = h$
Apotema piramidei regulate: $a_p^{\,2} = h^2 + a_b^{\,2}$
Muchia laterală a piramidei regulate: $l_{lat}^{\,2} = h^2 + R^2$
Înălțimea tetraedrului regulat de muchie l: $h = \dfrac{l\sqrt{6}}{3}$
Raza cercului circumscris triunghiului echilateral: $R = \dfrac{l\sqrt{3}}{3}$
Elementele piramidei cu bază cu n laturi: $V = n+1,\ M = 2n,\ F = n+1$
Elementele prismei cu bază cu n laturi: $V = 2n,\ M = 3n,\ F = n+2$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

O prismă dreaptă are ca baze două hexagoane regulate. Determinați numărul de vârfuri, de muchii și de fețe ale prismei și verificați relația lui Euler.

Baza este un hexagon, deci $n = 6$ .

Vârfuri: prisma are câte $6$ vârfuri pe fiecare bază, deci $V = 2 \cdot 6 = 12$ .

Muchii: $6$ muchii pe baza de jos, $6$ pe baza de sus și $6$ muchii laterale, deci $M = 3 \cdot 6 = 18$ .

Fețe: $2$ baze și $6$ fețe laterale dreptunghiulare, deci $F = 6 + 2 = 8$ .

Verificare Euler: $V - M + F = 12 - 18 + 8 = 2$ . Relația se verifică.

Exemplul 2

Un con circular drept are raza bazei $R = 5$ cm și înălțimea $h = 12$ cm. Calculați lungimea generatoarei $G$ .

Într-un con circular drept, înălțimea $VO$ este perpendiculară pe planul bazei, deci triunghiul $VOA$ (cu $V$ vârful, $O$ centrul bazei, $A$ un punct de pe cercul bazei) este dreptunghic în $O$ .

Aplicăm teorema lui Pitagora, unde $OA = R$ și $VA = G$ : $G^2 = h^2 + R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169.$ Deci $G = \sqrt{169} = 13$ cm.

Exemplul 3

Un cub are muchia $l = 4$ cm. Calculați lungimea diagonalei unei fețe și lungimea diagonalei cubului.

Diagonala feței: o față este un pătrat de latură $l = 4$ . Diagonala pătratului se află aplicând teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic cu catetele egale cu latura: $d_f = \sqrt{l^2 + l^2} = l\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\text{ cm}.$

Diagonala cubului: fie cubul $ABCDA'B'C'D'$ . Diagonala $AC'$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $ACC'$ , dreptunghic în $C$ , deoarece muchia $CC'$ este perpendiculară pe planul bazei, deci $CC' \perp AC$ . Avem $AC = l\sqrt{2}$ (diagonala feței de jos) și $CC' = l$ : $AC' = \sqrt{AC^2 + CC'^2} = \sqrt{(l\sqrt{2})^2 + l^2} = \sqrt{2l^2 + l^2} = \sqrt{3l^2} = l\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm}.$

Greșeli frecvente

Aplicarea relației lui Euler $V - M + F = 2$ la cilindru sau con. Acestea NU sunt poliedre (au suprafețe curbe), deci relația lui Euler nu li se aplică. Euler este valabilă doar la poliedre (piramidă, prismă, cub, paralelipiped etc.).
Confundarea muchiilor cu diagonalele sau reprezentarea muchiilor ascunse cu linie continuă. Corect: muchiile ascunse (care nu se văd la corpul opac) se desenează cu linie ÎNTRERUPTĂ (punctată), iar cele vizibile cu linie continuă.
Confundarea generatoarei cu înălțimea la con: la conul circular drept generatoarea $G$ (de la vârf la cercul bazei) este mai mare decât înălțimea $h$, iar $G^2 = h^2 + R^2$. Doar la CILINDRU generatoarea este egală cu înălțimea ($G = h$).
Confuzia dintre apotema bazei și apotema piramidei. Apotema bazei $a_b$ este apotema poligonului de bază (în planul bazei), pe când apotema piramidei $a_p$ este înălțimea unei fețe laterale; ele sunt legate prin $a_p^2 = h^2 + a_b^2$.
Numărarea greșită a muchiilor la piramidă/prismă: la o piramidă cu baza cu $n$ laturi sunt $2n$ muchii ($n$ ale bazei + $n$ laterale), nu $n$; la o prismă cu baza cu $n$ laturi sunt $3n$ muchii.

Pe scurt

Poliedre (piramidă, prismă, cub, paralelipiped) au fețe plane; corpurile rotunde (cilindru, con) au și suprafețe curbe.
Elementele unui poliedru: vârfuri, muchii, fețe; la poliedrele convexe $V - M + F = 2$ (relația lui Euler) — NU se aplică la cilindru/con.
Piramidă cu bază cu $n$ laturi: $n+1$ vârfuri, $2n$ muchii, $n+1$ fețe; prismă: $2n$ vârfuri, $3n$ muchii, $n+2$ fețe.
La con: $G^2 = h^2 + R^2$ ; la cilindru: generatoarea $=$ înălțimea. La cub: diagonala feței $= l\sqrt{2}$ , diagonala cubului $= l\sqrt{3}$ .
În reprezentare, muchiile ascunse se desenează punctat; desfășurarea despăturește suprafața corpului în plan (cub $= 6$ pătrate, lateralul cilindrului $=$ dreptunghi, lateralul conului $=$ sector de cerc).

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.