Drepte paralele; unghiul a două drepte; dreaptă paralelă cu planul; plane paralele

În spațiu, două drepte pot fi coplanare (există un plan care le conține pe amândouă) sau necoplanare. Dacă sunt coplanare, ele sunt fie concurente (au un punct comun), fie paralele (nu au niciun punct comun și sunt în același plan). Dreptele necoplanare nu au niciun punct comun, dar nu sunt paralele, fiindcă nu se află într-un plan comun. Atenție: în spațiu, „nu se intersectează” nu înseamnă „paralele”. De exemplu, în cubul $ABCDA'B'C'D'$ , muchiile $AB$ și $CC'$ nu se întâlnesc și nu sunt paralele — sunt necoplanare.

Drepte paralele. Tranzitivitate

Două drepte sunt paralele ( $d_1 \parallel d_2$ ) dacă sunt coplanare și nu au puncte comune. Paralelismul este tranzitiv: dacă $d_1 \parallel d_2$ și $d_2 \parallel d_3$ , atunci $d_1 \parallel d_3$ . De aici, într-un cub, $AB \parallel DC \parallel A'B' \parallel D'C'$ .

Unghiul a două drepte

Unghiul a două drepte concurente este unghiul (ascuțit sau drept) format de ele. Pentru două drepte necoplanare $a$ și $b$ , unghiul dintre ele se definește prin translatare: printr-un punct oarecare $P$ ducem $a' \parallel a$ și $b' \parallel b$ ; unghiul dintre $a'$ și $b'$ (care sunt acum concurente) este, prin definiție, unghiul dintre $a$ și $b$ . Practic, este suficient să înlocuim una dintre drepte cu o paralelă la ea care întâlnește cealaltă dreaptă. Unghiul a două drepte se ia întotdeauna în intervalul $[0^\circ, 90^\circ]$ ; drepte paralele formează unghi de $0^\circ$ , iar drepte perpendiculare (chiar necoplanare) formează $90^\circ$ . De exemplu, unghiul dintre $AB$ și $B'C'$ în cub este $90^\circ$ , deoarece $B'C' \parallel BC$ și $AB \perp BC$ .

Dreaptă paralelă cu un plan

O dreaptă $d$ care nu este conținută în planul $\alpha$ este paralelă cu planul ( $d \parallel \alpha$ ) dacă nu are niciun punct comun cu el. Criteriu de paralelism dreaptă–plan: dacă dreapta $d$ (necuprinsă în $\alpha$ ) este paralelă cu o dreaptă $g \subset \alpha$ , atunci $d \parallel \alpha$ . Astfel, $A'B' \parallel (ABCD)$ , pentru că $A'B' \parallel AB$ și $AB \subset (ABCD)$ . O dreaptă conținută într-un plan nu se consideră paralelă cu planul.

Plane paralele

Două plane sunt paralele ( $\alpha \parallel \beta$ ) dacă nu au niciun punct comun. Criteriu: dacă două drepte concurente ale unui plan sunt paralele cu celălalt plan (sau cu două drepte ale lui), atunci planele sunt paralele. În cub, $(ABCD) \parallel (A'B'C'D')$ . Paralelismul planelor este tot tranzitiv.

Două proprietăți importante:

Plane paralele tăiate de un al treilea plan: dacă $\alpha \parallel \beta$ și un plan $\gamma$ le taie după dreptele $a$ , respectiv $b$ , atunci $a \parallel b$ .
Secțiuni paralele cu baza: un plan paralel cu baza unui corp (cub, prismă, piramidă) determină o secțiune asemenea (la prismă/cub, congruentă) cu baza.

Reține și lungimile utile în cub cu muchia $l$ : diagonala unei fețe este $l\sqrt{2}$ , iar diagonala cubului este $l\sqrt{3}$ .

Formule

Tranzitivitatea paralelismului dreptelor: $d_1 \parallel d_2,\ d_2 \parallel d_3 \ \Rightarrow\ d_1 \parallel d_3$
Criteriu dreaptă paralelă cu plan: $d \not\subset \alpha,\ d \parallel g,\ g \subset \alpha \ \Rightarrow\ d \parallel \alpha$
Plane paralele tăiate de un al treilea plan: $\alpha \parallel \beta,\ \gamma \cap \alpha = a,\ \gamma \cap \beta = b \ \Rightarrow\ a \parallel b$
Diagonala unei fețe a cubului (latura l): $d_f = l\sqrt{2}$
Diagonala cubului (latura l): $d = l\sqrt{3}$
Valori trigonometrice folosite: $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\ \cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2},\ \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

În cubul $ABCDA'B'C'D'$ , stabiliți poziția relativă a dreptelor $AA'$ și $BC$ și determinați măsura unghiului dintre ele.

Poziția relativă. $AA'$ este o muchie verticală, iar $BC$ o muchie a bazei. Ele nu au niciun punct comun (nu se întâlnesc) și nu sunt paralele, deci $AA'$ și $BC$ sunt necoplanare.

Unghiul. Aplicăm translatarea: muchiile laterale sunt paralele, deci $AA' \parallel BB'$ . Prin urmare $\angle(AA', BC) = \angle(BB', BC),$ iar $BB'$ și $BC$ sunt concurente în $B$ . În fața (pătratul) $BCC'B'$ , laturile $BB'$ și $BC$ sunt perpendiculare, deci $\angle(BB', BC) = 90^\circ$ .

Concluzie: dreptele $AA'$ și $BC$ sunt necoplanare și perpendiculare, unghiul dintre ele fiind $90^\circ$ .

Exemplul 2

În cubul $ABCDA'B'C'D'$ , calculați măsura unghiului dintre diagonalele $AB'$ și $AD'$ ale fețelor cubului.

Cele două diagonale pornesc din același vârf $A$ , deci sunt concurente — nu mai este nevoie de translatare, unghiul căutat este $\angle B'AD'$ .

Considerăm triunghiul $AB'D'$ . Toate cele trei segmente sunt diagonale de fețe ale cubului (de muchie $l$ ): $AB' = l\sqrt{2}, \quad AD' = l\sqrt{2}, \quad B'D' = l\sqrt{2},$ unde $B'D'$ este diagonala feței de sus $A'B'C'D'$ . Cum $AB' = AD' = B'D'$ , triunghiul $AB'D'$ este echilateral, deci fiecare unghi are $60^\circ$ .

Concluzie: $\angle(AB', AD') = 60^\circ$ .

Greșeli frecvente

Confuzia „nu se intersectează = paralele”. În spațiu, două drepte care nu au puncte comune pot fi **necoplanare** (ex.: $AB$ și $CC'$ în cub). Paralele sunt doar dreptele coplanare fără puncte comune.
Măsurarea unghiului a două drepte necoplanare direct „pe desen”, fără translatare. Corect: se duce printr-un punct comun o paralelă la una dintre drepte și se măsoară unghiul dintre dreptele concurente astfel obținute.
A considera că o dreaptă conținută într-un plan este paralelă cu planul. O dreaptă din plan **nu** este paralelă cu planul; paralelismul dreaptă–plan cere ca dreapta să nu aibă niciun punct comun cu planul (criteriu: să fie paralelă cu o dreaptă din plan).
A da ca răspuns un unghi mai mare de $90^\circ$ pentru unghiul a două drepte. Unghiul dintre două drepte se ia mereu în $[0^\circ, 90^\circ]$; dacă apare un unghi obtuz, se ia suplementul lui.

Pe scurt

Două drepte în spațiu sunt coplanare (concurente sau paralele) ori necoplanare; „nu se intersectează” $\neq$ „paralele”.
Unghiul a două drepte necoplanare se află prin translatare: înlocuim o dreaptă cu o paralelă la ea care întâlnește cealaltă dreaptă; rezultatul este în $[0^\circ, 90^\circ]$ .
Dreaptă $\parallel$ plan (criteriu): $d \not\subset \alpha$ și $d \parallel g$ cu $g \subset \alpha$ $\Rightarrow d \parallel \alpha$ .
Plane paralele (criteriu): două drepte concurente dintr-un plan paralele cu celălalt plan $\Rightarrow$ plane paralele; paralelismul este tranzitiv.
Dacă $\alpha \parallel \beta$ și un plan $\gamma$ le taie, dreptele de intersecție sunt paralele; o secțiune paralelă cu baza cubului/prismei este congruentă cu baza.
În cub: diagonala feței $= l\sqrt{2}$ , diagonala cubului $= l\sqrt{3}$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.