Drepte perpendiculare în spațiu; dreapta perpendiculară pe plan; înălțimile corpurilor

Drepte perpendiculare în spațiu

Două drepte din spațiu sunt perpendiculare dacă unghiul dintre ele are $90^\circ$ . Important: dreptele perpendiculare pot fi concurente, dar și necoplanare — unghiul dintre două drepte necoplanare se determină prin translatare (înlocuim o dreaptă cu o paralelă la ea care o întâlnește pe cealaltă). De exemplu, în cubul $ABCDA'B'C'D'$ , dreptele $AB$ și $CC'$ nu se ating, dar $CC' \parallel BB'$ și $AB \perp BB'$ , deci $AB \perp CC'$ : sunt perpendiculare și necoplanare.

Dreapta perpendiculară pe plan

Definiție. O dreaptă $d$ este perpendiculară pe planul $\alpha$ (scriem $d \perp \alpha$ ) dacă este perpendiculară pe orice dreaptă conținută în $\alpha$ .

Nu putem verifica direct perpendicularitatea pe „orice dreaptă” — de aceea folosim:

Criteriul de perpendicularitate dreaptă–plan. Dacă $d \perp a$ și $d \perp b$ , unde $a$ și $b$ sunt două drepte concurente conținute în planul $\alpha$ , atunci $d \perp \alpha$ . Sunt suficiente două drepte, dar este obligatoriu ca ele să fie concurente: perpendicularitatea pe o singură dreaptă (sau pe două drepte paralele) din plan nu garantează nimic.

Consecința (proprietatea cea mai folosită). Dacă $d \perp \alpha$ , atunci $d$ este perpendiculară pe orice dreaptă din $\alpha$ . Acesta este mecanismul standard de lucru: demonstrezi perpendicularitatea pe două drepte concurente și primești, gratuit, perpendicularitatea pe toate dreptele planului.

Alte proprietăți: printr-un punct dat trece o unică dreaptă perpendiculară pe un plan dat; punctul în care perpendiculara înțeapă planul se numește piciorul perpendicularei; distanța de la un punct la un plan este lungimea segmentului de perpendiculară dus din punct pe plan.

Exemplu fundamental (cubul). În cubul $ABCDA'B'C'D'$ : $AA' \perp AB$ (unghi al pătratului $ABB'A'$ ) și $AA' \perp AD$ (unghi al pătratului $ADD'A'$ ); cum $AB \cap AD = \{A\}$ și $AB, AD \subset (ABCD)$ , criteriul dă $AA' \perp (ABCD)$ . Prin consecință, $AA'$ este perpendiculară și pe diagonalele $AC$ și $BD$ ale bazei — deși acest lucru „nu se vede” pe desen.

Înălțimile corpurilor

Prisma dreaptă (inclusiv paralelipipedul dreptunghic și cubul): muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor (fiecare muchie laterală e perpendiculară pe două laturi concurente ale bazei). De aceea înălțimea prismei drepte este muchia laterală: $h = AA'$ .

Piramida regulată $VABCD$ (baza pătrat): înălțimea este $VO$ , unde $O$ este centrul bazei (intersecția diagonalelor). Justificare: $VA = VC$ (muchii laterale congruente) și $O$ este mijlocul lui $AC$ , deci mediana $VO$ a triunghiului isoscel $VAC$ este și înălțime: $VO \perp AC$ ; analog $VO \perp BD$ ; cum $AC \cap BD = \{O\}$ și ambele sunt în planul bazei, rezultă $VO \perp (ABCD)$ . Din triunghiul dreptunghic $VOA$ : $VA^2 = VO^2 + OA^2$ , adică $l_{lat}^2 = h^2 + R^2$ , unde $R$ este raza cercului circumscris bazei. Analog, apotema piramidei: $a_p^2 = h^2 + a_b^2$ .

Tetraedrul regulat cu muchia $l$ : piciorul înălțimii este centrul feței opuse, iar $h = \dfrac{l\sqrt{6}}{3}$ .

Conul circular drept: înălțimea $VO$ unește vârful cu centrul bazei și $VO \perp$ planul bazei; între generatoare, înălțime și rază: $G^2 = h^2 + R^2$ .

Cilindrul circular drept: generatoarele sunt perpendiculare pe planele bazelor, deci $h = G$ (înălțimea este egală cu generatoarea).

Regula de aur la examen: la Subiectul III, nicio perpendicularitate nu se acceptă „din desen” — fiecare se demonstrează cu criteriul (două drepte concurente) sau se justifică din proprietățile corpului (muchie laterală de prismă dreaptă, înălțime de piramidă regulată etc.).

Formule

Criteriul de perpendicularitate dreaptă–plan: $d \perp a,\ d \perp b,\ a \cap b = \{P\},\ a, b \subset \alpha \ \Rightarrow\ d \perp \alpha$
Consecința perpendicularității pe plan: $d \perp \alpha,\ g \subset \alpha \ \Rightarrow\ d \perp g$
Muchia laterală a piramidei regulate: $l_{lat}^2 = h^2 + R^2$
Apotema piramidei regulate: $a_p^2 = h^2 + a_b^2$
Raza cercului circumscris pătratului de latură l: $R = \frac{l\sqrt{2}}{2}$
Raza cercului circumscris triunghiului echilateral de latură l: $R = \frac{l\sqrt{3}}{3}$
Raza cercului circumscris hexagonului regulat de latură l: $R = l$
Înălțimea tetraedrului regulat cu muchia l: $h = \frac{l\sqrt{6}}{3}$
Diagonala feței cubului (muchia l): $d_f = l\sqrt{2}$
Diagonala cubului (muchia l): $d = l\sqrt{3}$
Relația generatoare–înălțime–rază în conul circular drept: $G^2 = h^2 + R^2$
Înălțimea cilindrului circular drept: $h = G$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

În cubul $ABCDA'B'C'D'$ , demonstrați că $AA' \perp (ABCD)$ și deduceți că $AA' \perp AC$ , unde $AC$ este diagonala bazei.

Pasul 1 — perpendicularitatea pe două drepte concurente. Fața $ABB'A'$ este pătrat, deci $AA' \perp AB$ . Fața $ADD'A'$ este pătrat, deci $AA' \perp AD$ .

Pasul 2 — aplicarea criteriului. Dreptele $AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$ și ambele sunt conținute în planul $(ABCD)$ . Din criteriul de perpendicularitate dreaptă–plan rezultă $AA' \perp (ABCD).$

Pasul 3 — consecința. Dreapta $AC$ (diagonala bazei) este conținută în planul $(ABCD)$ . Cum $AA' \perp (ABCD)$ , dreapta $AA'$ este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan, deci $AA' \perp AC.$

Observație: unghiul drept dintre $AA'$ și $AC$ nu „se vede” în perspectivă pe desen — de aceea el trebuie demonstrat, nu citit de pe figură.

Exemplul 2

Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are baza pătratul $ABCD$ cu $AB = 8$ cm și muchia laterală $VA = 6$ cm. Notăm cu $O$ intersecția diagonalelor bazei. Demonstrați că $VO \perp (ABCD)$ și calculați înălțimea piramidei.

Demonstrația perpendicularității. Piramida fiind regulată, muchiile laterale sunt congruente: $VA = VB = VC = VD = 6$ cm.

În triunghiul $VAC$ , avem $VA = VC$ , deci triunghiul este isoscel; $O$ este mijlocul diagonalei $AC$ (diagonalele pătratului se înjumătățesc), deci $VO$ este mediană în triunghiul isoscel $VAC$ , prin urmare este și înălțime: $VO \perp AC$ .
Analog, în triunghiul isoscel $VBD$ ( $VB = VD$ ), $O$ este mijlocul lui $BD$ , deci $VO \perp BD$ .

Dreptele $AC$ și $BD$ sunt concurente în $O$ și ambele sunt conținute în planul $(ABCD)$ . Din criteriul de perpendicularitate dreaptă–plan: $VO \perp (ABCD),$ deci $VO$ este înălțimea piramidei.

Calculul înălțimii. Diagonala bazei: $AC = AB\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ cm, deci $AO = \dfrac{AC}{2} = 4\sqrt{2}$ cm.

Cum $VO \perp (ABCD)$ și $OA \subset (ABCD)$ , avem $VO \perp OA$ , deci triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$ . Din teorema lui Pitagora: $VO^2 = VA^2 - AO^2 = 6^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - 32 = 4,$ deci $VO = 2$ cm.

Concluzie: înălțimea piramidei este $h = VO = 2$ cm.

Greșeli frecvente

A concluziona că o dreaptă este perpendiculară pe un plan pentru că este perpendiculară pe **o singură** dreaptă din plan. Corect: criteriul cere perpendicularitatea pe **două drepte concurente** din plan; perpendicularitatea pe o singură dreaptă (sau pe două drepte paralele între ele) nu este suficientă.
A folosi în spațiu regula din plan „două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele”. În spațiu este falsă: în cub, $AB \perp AA'$ și $AD \perp AA'$, dar $AB$ și $AD$ nu sunt paralele, ci concurente.
Confuzia dintre muchia laterală, apotemă și înălțime la piramida regulată: $VA$ (muchia laterală, spre un vârf al bazei), $VM$ (apotema, spre mijlocul unei laturi) și $VO$ (înălțimea, spre centrul bazei) sunt trei segmente diferite, cu lungimi diferite ($l_{lat}^2 = h^2 + R^2$, respectiv $a_p^2 = h^2 + a_b^2$). Analog, la con nu se confundă generatoarea $G$ cu înălțimea $h$ ($G^2 = h^2 + R^2$, deci $G > h$).
A afirma perpendicularitatea „pentru că așa arată desenul”. Pe un desen în perspectivă unghiurile drepte apar deformate; la Subiectul III, orice perpendicularitate nejustificată (prin criteriu sau prin proprietățile corpului) duce la pierderea punctelor.

Pe scurt

Drepte perpendiculare în spațiu: unghiul dintre ele este $90^\circ$ ; pot fi concurente sau necoplanare (ex.: $AB \perp CC'$ în cub).
Criteriul dreaptă $\perp$ plan: $d \perp a$ , $d \perp b$ , cu $a, b$ concurente și conținute în $\alpha$ $\Rightarrow d \perp \alpha$ . Două drepte, obligatoriu concurente!
Consecința: $d \perp \alpha \Rightarrow d$ este perpendiculară pe orice dreaptă din $\alpha$ — demonstrezi pe două, primești pe toate.
Înălțimile corpurilor: prisma dreaptă — muchia laterală ( $h = AA'$ ); piramida regulată — $VO$ , cu $O$ centrul bazei ( $l_{lat}^2 = h^2 + R^2$ , $a_p^2 = h^2 + a_b^2$ ); conul drept — $VO$ , cu $G^2 = h^2 + R^2$ ; cilindrul drept — generatoarea ( $h = G$ ).
Distanța de la un punct la un plan = lungimea perpendicularei duse din punct pe plan.
La examen, perpendicularitatea se demonstrează (criteriul celor două drepte concurente), nu se citește de pe desen.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.