Proiecții ortogonale pe plan; unghiul dintre dreaptă și plan; lungimea proiecției

Proiecția ortogonală a unui punct pe un plan

Fie un plan $\alpha$ și un punct $M$ . Proiecția ortogonală a lui $M$ pe $\alpha$ este piciorul $M'$ al perpendicularei duse din $M$ pe plan: $MM' \perp \alpha$ , $M' \in \alpha$ . Scriem $M' = \text{pr}_{\alpha}\, M$ . Dacă $M \in \alpha$ , atunci proiecția lui $M$ este chiar $M$ . Proiecția este unică, pentru că dintr-un punct se poate duce o singură perpendiculară pe un plan.

De exemplu, în cubul $ABCDA'B'C'D'$ , proiecția lui $B'$ pe planul $(ABCD)$ este $B$ , deoarece muchia laterală $BB'$ este perpendiculară pe planul bazei.

Proiecția unui segment și a unei drepte

Proiecția unei figuri pe un plan este mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor figurii.

Proiecția unei drepte $d$ pe $\alpha$ : dacă $d \perp \alpha$ , proiecția este un punct (piciorul perpendicularei); altfel, proiecția este o dreaptă $d'$ .
Proiecția unui segment $AB$ (neperpendicular pe plan) este segmentul $A'B'$ , unde $A'$ și $B'$ sunt proiecțiile capetelor.

Lungimea proiecției

Dacă segmentul $AB$ formează cu planul $\alpha$ unghiul $u$ , atunci lungimea proiecției este $A'B' = AB \cdot \cos u.$ Cazuri particulare: dacă $AB \parallel \alpha$ sau $AB \subset \alpha$ , proiecția are aceeași lungime ( $\cos 0^\circ = 1$ ); dacă $AB \perp \alpha$ , proiecția este un punct ( $\cos 90^\circ = 0$ ). Cum $\cos u \le 1$ , proiecția unui segment este întotdeauna cel mult egală cu segmentul. Exemplu: un segment de $10$ cm care formează $60^\circ$ cu planul are proiecția $10 \cdot \cos 60^\circ = 5$ cm.

Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Dacă $d \perp \alpha$ , unghiul dintre $d$ și $\alpha$ este $90^\circ$ .
Dacă $d \parallel \alpha$ sau $d \subset \alpha$ , unghiul este $0^\circ$ .
Altfel, unghiul dintre dreapta $d$ și planul $\alpha$ este, prin definiție, unghiul dintre $d$ și proiecția ei $d'$ pe $\alpha$ .

Acest unghi este cel mai mic dintre unghiurile formate de $d$ cu dreptele planului și aparține mereu intervalului $[0^\circ, 90^\circ]$ .

Cum îl construim practic. Fie $I$ punctul în care dreapta $d$ înțeapă planul ( $d \cap \alpha = \{I\}$ ). Alegem un punct convenabil $P \in d$ , $P \neq I$ , și coborâm perpendiculara $PP' \perp \alpha$ . Atunci $IP'$ este proiecția lui $IP$ , iar unghiul căutat este $\angle PIP'$ . În triunghiul dreptunghic $PP'I$ (dreptunghic în $P'$ ): $\sin u = \frac{PP'}{PI}, \qquad \cos u = \frac{P'I}{PI}, \qquad \text{tg}\, u = \frac{PP'}{P'I}.$

Aplicații tipice la examen

Muchia laterală a piramidei regulate cu baza: proiecția vârfului $V$ pe planul bazei este centrul $O$ al bazei, deci proiecția muchiei $VA$ este $OA$ ; unghiul este $\angle VAO$ , cu $\cos u = \frac{R}{VA}$ și $\text{tg}\, u = \frac{h}{R}$ , unde $R = OA$ este raza cercului circumscris bazei.
Diagonala cubului cu planul bazei: proiecția lui $AC'$ pe $(ABCD)$ este $AC$ (fiindcă $CC' \perp (ABCD)$ ); unghiul $u = \angle C'AC$ are $\text{tg}\, u = \frac{l}{l\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Generatoarea conului cu planul bazei: proiecția vârfului $V$ este centrul $O$ al bazei, deci unghiul dintre generatoarea $VA$ și bază este $\angle VAO$ , cu $\cos u = \frac{R}{G}$ și $\text{tg}\, u = \frac{h}{R}$ .

Formule

Lungimea proiecției unui segment: $A'B' = AB \cdot \cos u$
Unghiul dreaptă–plan (cazuri particulare): $d \parallel \alpha \text{ sau } d \subset \alpha \Rightarrow u = 0^\circ; \quad d \perp \alpha \Rightarrow u = 90^\circ$
Rapoarte în triunghiul construcției ( $PP' \perp \alpha$ ): $\sin u = \frac{PP'}{PI},\ \cos u = \frac{P'I}{PI},\ \text{tg}\, u = \frac{PP'}{P'I}$
Diagonala feței cubului / diagonala cubului (muchia $l$ ): $d_f = l\sqrt{2}, \quad d = l\sqrt{3}$
Unghiul diagonalei cubului cu baza: $\text{tg}\, u = \frac{l}{l\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Muchia laterală a piramidei regulate: $m^2 = h^2 + R^2$
Unghiul muchiei laterale a piramidei regulate cu baza: $\cos u = \frac{R}{m}, \quad \text{tg}\, u = \frac{h}{R}$
Generatoarea conului și unghiul ei cu baza: $G^2 = h^2 + R^2; \quad \cos u = \frac{R}{G},\ \text{tg}\, u = \frac{h}{R}$
Raza cercului circumscris bazei: $\text{pătrat: } R = \frac{l\sqrt{2}}{2}; \quad \text{triunghi echilateral: } R = \frac{l\sqrt{3}}{3}; \quad \text{hexagon regulat: } R = l$
Valori trigonometrice uzuale: $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\ \cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2},\ \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2};\ \text{tg}\,30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3},\ \text{tg}\,45^\circ = 1,\ \text{tg}\,60^\circ = \sqrt{3}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Punctul $M$ este exterior planului $\alpha$ , iar $N \in \alpha$ . Segmentul $MN$ are lungimea $12$ cm și formează cu planul $\alpha$ un unghi de $60^\circ$ . Calculați lungimea proiecției segmentului $MN$ pe planul $\alpha$ și distanța de la punctul $M$ la plan.

Fie $M'$ proiecția lui $M$ pe $\alpha$ , adică $MM' \perp \alpha$ . Cum $N \in \alpha$ , proiecția lui $N$ este chiar $N$ , deci proiecția segmentului $MN$ este segmentul $M'N$ .

Unghiul dintre $MN$ și plan este unghiul dintre $MN$ și proiecția sa: $\angle MNM' = 60^\circ$ .

În triunghiul $MM'N$ , dreptunghic în $M'$ (pentru că $MM' \perp \alpha$ , deci $MM' \perp M'N$ ): $M'N = MN \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ cm},$ $MM' = MN \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ cm}.$

Concluzie: proiecția are lungimea $6$ cm, iar distanța de la $M$ la plan este $d(M, \alpha) = MM' = 6\sqrt{3}$ cm.

Exemplul 2

Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB = 6$ cm și înălțimea $VO = 3\sqrt{2}$ cm. Determinați măsura unghiului dintre muchia laterală $VA$ și planul bazei $(ABCD)$ .

Piramida fiind regulată, înălțimea $VO$ este perpendiculară pe planul bazei în centrul $O$ al pătratului $ABCD$ (intersecția diagonalelor). Deci proiecția lui $V$ pe $(ABCD)$ este $O$ , iar $A \in (ABCD)$ se proiectează în el însuși.

Prin urmare, proiecția muchiei $VA$ pe planul bazei este $OA$ , iar unghiul căutat este $\angle VAO$ .

Calculăm $OA$ : diagonala pătratului este $AC = 6\sqrt{2}$ cm, deci $OA = \frac{AC}{2} = 3\sqrt{2} \text{ cm}.$

În triunghiul $VOA$ , dreptunghic în $O$ (căci $VO \perp (ABCD) \Rightarrow VO \perp OA$ ): $\text{tg}(\angle VAO) = \frac{VO}{OA} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 1 \ \Rightarrow\ \angle VAO = 45^\circ.$

Concluzie: unghiul dintre $VA$ și planul bazei are măsura $45^\circ$ .

Exemplul 3

În cubul $ABCDA'B'C'D'$ cu muchia de $6$ cm, aflați sinusul și tangenta unghiului dintre diagonala $AC'$ și planul bazei $(ABCD)$ .

Muchia laterală $CC'$ este perpendiculară pe planul bazei, deci proiecția lui $C'$ pe $(ABCD)$ este $C$ . Punctul $A$ aparține bazei, deci proiecția diagonalei $AC'$ pe $(ABCD)$ este diagonala $AC$ a bazei.

Unghiul căutat este deci $u = \angle C'AC$ .

Calculăm laturile triunghiului $ACC'$ , dreptunghic în $C$ (din $CC' \perp (ABCD) \Rightarrow CC' \perp AC$ ):

$CC' = 6$ cm (muchia),
$AC = 6\sqrt{2}$ cm (diagonala feței),
$AC' = 6\sqrt{3}$ cm (diagonala cubului), verificare: $AC'^2 = AC^2 + CC'^2 = 72 + 36 = 108 = (6\sqrt{3})^2$ . ✓

Atunci: $\text{tg}\, u = \frac{CC'}{AC} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin u = \frac{CC'}{AC'} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Concluzie: $\text{tg}\, u = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin u = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Greșeli frecvente

Calcularea lungimii proiecției cu sinus: „proiecția $= l \cdot \sin u$”. Corect: proiecția unui segment care formează unghiul $u$ cu planul este $l \cdot \cos u$; cu $\sin u$ se calculează distanța de la capătul segmentului la plan.
Confundarea unghiului dintre dreaptă și plan cu unghiul dintre dreaptă și perpendiculara pe plan. Corect: unghiul dreaptă–plan este unghiul dintre dreaptă și **proiecția ei** pe plan; unghiul cu perpendiculara este complementul lui.
Alegerea piciorului perpendicularei „după ochi”, fără justificare. Corect: poziția proiecției se demonstrează — de exemplu, la piramida regulată proiecția vârfului este **centrul bazei** $O$ (nu mijlocul unei laturi), iar în cub proiecția lui $C'$ pe bază este $C$, pentru că $CC' \perp (ABCD)$.
A da ca răspuns un unghi obtuz. Unghiul dintre o dreaptă și un plan aparține intervalului $[0^\circ, 90^\circ]$; el este cel mai mic unghi dintre dreaptă și dreptele planului.
Confuzia dintre diagonala feței cubului ($l\sqrt{2}$) și diagonala cubului ($l\sqrt{3}$) în calculul unghiului diagonalei cu baza.

Pe scurt

Proiecția ortogonală a unui punct $M$ pe planul $\alpha$ este piciorul perpendicularei din $M$ pe $\alpha$ ; proiecția unei drepte neperpendiculare pe plan este o dreaptă, iar a unei drepte perpendiculare — un punct.
Lungimea proiecției unui segment: $A'B' = AB \cdot \cos u$ , unde $u$ este unghiul dintre segment și plan; proiecția este întotdeauna $\le$ segmentul.
Unghiul dintre o dreaptă și un plan = unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan; este cel mai mic unghi format de dreaptă cu dreptele planului și aparține lui $[0^\circ, 90^\circ]$ .
Construcție: din punctul $P$ al dreptei coborâm perpendiculara $PP' \perp \alpha$ și unim $P'$ cu punctul $I$ în care dreapta înțeapă planul; unghiul este $\angle PIP'$ , calculat din triunghiul dreptunghic $PP'I$ .
Aplicații: muchia laterală a piramidei regulate cu baza — $\text{tg}\, u = \frac{h}{R}$ , $\cos u = \frac{R}{m}$ ; diagonala cubului cu baza — $\text{tg}\, u = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ; generatoarea conului cu baza — $\cos u = \frac{R}{G}$ .
Orice afirmație de perpendicularitate (unde cade piciorul proiecției) trebuie justificată, nu doar citită de pe desen.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.