Unghiul diedru; unghiul plan corespunzător; plane perpendiculare; unghiul a două plane; secțiuni diagonale și axiale

Unghiul diedru

Două semiplane $\alpha$ și $\beta$ care au aceeași dreaptă de margine $m$ formează un unghi diedru. Dreapta comună $m$ se numește muchia diedrului, iar cele două semiplane sunt fețele diedrului. De exemplu, două pagini ale unei cărți deschise formează un diedru cu muchia pe cotor; în cub, fețele $(ABB'A')$ și $(ABCD)$ formează un diedru cu muchia $AB$ .

Unghiul plan corespunzător diedrului

Pentru a măsura un diedru, îl reducem la un unghi obișnuit (plan). Alegem un punct $P$ pe muchia $m$ și ducem două semidrepte perpendiculare pe muchie, câte una în fiecare față: $a \subset \alpha$ , $a \perp m$ și $b \subset \beta$ , $b \perp m$ , ambele cu originea în $P$ . Unghiul format de semidreptele $a$ și $b$ se numește unghiul plan corespunzător diedrului, iar măsura diedrului este măsura acestui unghi plan. Măsura nu depinde de alegerea punctului $P$ pe muchie. Atenție: ambele semidrepte trebuie să fie perpendiculare pe muchie în același punct — dacă una dintre ele nu este perpendiculară pe muchie, unghiul obținut NU este unghiul diedrului. La probleme, perpendicularitatea celor două semidrepte pe muchie trebuie demonstrată (mediană în triunghi isoscel, apotemă, teorema celor trei perpendiculare), nu doar citită de pe desen.

Plane perpendiculare

Două plane sunt perpendiculare dacă formează un diedru cu măsura de $90^\circ$ . Criteriul de perpendicularitate: un plan $\alpha$ este perpendicular pe un plan $\beta$ dacă $\alpha$ conține o dreaptă perpendiculară pe $\beta$ . De exemplu, în cub $AA' \perp (ABCD)$ și $AA' \subset (ABB'A')$ , deci $(ABB'A') \perp (ABCD)$ : fețele laterale ale cubului (și ale oricărei prisme drepte) sunt perpendiculare pe bază. Reciproc, dacă $\alpha \perp \beta$ , nu rezultă că orice dreaptă din $\alpha$ este perpendiculară pe $\beta$ — doar dreptele din $\alpha$ perpendiculare pe muchia de intersecție au această proprietate.

Unghiul a două plane

Două plane secante formează patru diedre, două câte două congruente (opuse) și două câte două suplementare. Unghiul celor două plane este, prin convenție, diedrul ascuțit sau drept, deci are măsura în $[0^\circ, 90^\circ]$ . Plane paralele formează unghi de $0^\circ$ ; dacă unghiul este $90^\circ$ , planele sunt perpendiculare.

Secțiuni diagonale

Secțiunea diagonală a unei prisme (paralelipiped, cub) este secțiunea determinată de două muchii laterale care nu aparțin aceleiași fețe — planul trece prin diagonalele celor două baze. În paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ cu dimensiunile $a$ , $b$ , $c$ , secțiunea diagonală $BDD'B'$ este un dreptunghi (deoarece $BB' \perp (ABCD)$ , deci $BB' \perp BD$ ) cu dimensiunile $BD = \sqrt{a^2+b^2}$ și $BB' = c$ . În cubul de muchie $l$ , secțiunea diagonală este un dreptunghi $l\sqrt{2} \times l$ , cu aria $l^2\sqrt{2}$ — nu este pătrat!

Secțiuni axiale

Secțiunea axială a unui corp rotund este secțiunea printr-un plan care conține axa corpului. La cilindrul circular drept cu raza $R$ și înălțimea $h$ ( $G = h$ ), secțiunea axială este un dreptunghi cu dimensiunile $2R$ și $h$ , de arie $2Rh$ . La conul circular drept cu raza $R$ , înălțimea $h$ și generatoarea $G$ , secțiunea axială este un triunghi isoscel cu baza $2R$ și laturile congruente egale cu $G$ , de arie $\frac{2R \cdot h}{2} = Rh$ . Dacă secțiunea axială a conului este triunghi echilateral, conul se numește con echilateral și are $G = 2R$ , $h = R\sqrt{3}$ ; cilindrul cu secțiunea axială pătrat ( $h = 2R$ ) se numește cilindru echilateral.

Formule

Unghiul plan corespunzător diedrului (a și b ⊥ pe muchie, în fețe): $a \subset \alpha,\ b \subset \beta,\ a \perp m,\ b \perp m \ \Rightarrow\ m(\text{diedrului}) = m(\angle(a,b))$
Criteriul de perpendicularitate a două plane: $d \perp \beta,\ d \subset \alpha \ \Rightarrow\ \alpha \perp \beta$
Unghiul a două plane (diedrul ascuțit sau drept): $m(\angle(\alpha, \beta)) \in [0^\circ, 90^\circ]$
Diedrul dintre o față laterală și bază (piramidă regulată, apotema bazei a_b): $\tan(\angle VMO) = \frac{h}{a_b}$
Apotema piramidei regulate: $a_p^2 = h^2 + a_b^2$
Secțiunea diagonală a cubului de muchie l (dreptunghi): $\dim:\ l\sqrt{2} \times l,\quad A = l^2\sqrt{2}$
Secțiunea diagonală a paralelipipedului dreptunghic (a, b, c): $A = \sqrt{a^2+b^2} \cdot c$
Secțiunea axială a cilindrului (dreptunghi): $\dim:\ 2R \times h,\quad A = 2Rh$
Diagonala secțiunii axiale a cilindrului: $d^2 = 4R^2 + h^2$
Secțiunea axială a conului (triunghi isoscel: baza 2R, laturi G): $A = \frac{2R \cdot h}{2} = Rh$
Con echilateral (secțiune axială echilaterală): $G = 2R,\quad h = R\sqrt{3}$
Diagonala pătratului / apotema pătratului de latură l: $d = l\sqrt{2},\quad a = \frac{l}{2}$
Valori trigonometrice uzuale: $\tan 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3},\ \tan 45^\circ = 1,\ \tan 60^\circ = \sqrt{3},\ \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

În cubul $ABCDA'B'C'D'$ se consideră planele $(ABC')$ și $(ABC)$ . Determinați măsura unghiului diedru format de cele două plane, în lungul muchiei $AB$ .

Pasul 1 — muchia diedrului. Planele $(ABC')$ și $(ABC)$ se intersectează după dreapta $AB$ , deci muchia diedrului este $AB$ .

Pasul 2 — construim unghiul plan corespunzător. Căutăm două semidrepte perpendiculare pe $AB$ în același punct, câte una în fiecare plan. În baza $(ABC)$ : $BC \perp AB$ (laturi consecutive ale pătratului $ABCD$ ). În planul $(ABC')$ : din $AB \perp BC$ și $AB \perp BB'$ (muchie laterală, $BB' \perp (ABCD)$ ) rezultă $AB \perp (BCC'B')$ , deci $AB$ este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan, în particular $AB \perp BC'$ .

Așadar $BC \subset (ABC)$ , $BC' \subset (ABC')$ , ambele perpendiculare pe muchia $AB$ în punctul $B$ , deci unghiul plan corespunzător diedrului este $\angle C'BC$ .

Pasul 3 — calculăm. În pătratul $BCC'B'$ cu latura $l$ , triunghiul $C'CB$ este dreptunghic isoscel ( $CC' = CB = l$ , $\angle C'CB = 90^\circ$ ), deci $\tan(\angle C'BC) = \frac{CC'}{CB} = 1 \ \Rightarrow\ m(\angle C'BC) = 45^\circ.$

Concluzie: măsura diedrului este $45^\circ$ .

Exemplul 2

Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB = 12$ cm și înălțimea $VO = 6$ cm. Determinați măsura unghiului dintre planul feței laterale $(VBC)$ și planul bazei $(ABCD)$ .

Pasul 1 — muchia diedrului. Planele $(VBC)$ și $(ABCD)$ se intersectează după dreapta $BC$ .

Pasul 2 — construim unghiul plan corespunzător. Fie $M$ mijlocul lui $BC$ .

În planul bazei: $OB = OC$ (jumătăți de diagonale ale pătratului), deci triunghiul $OBC$ este isoscel, iar $OM$ este mediană, deci $OM \perp BC$ . ( $OM$ este apotema pătratului, $OM = \frac{AB}{2} = 6$ cm.)
În planul feței: $VO \perp (ABCD)$ (înălțimea piramidei regulate), $OM \perp BC$ , deci, conform teoremei celor trei perpendiculare, $VM \perp BC$ .

Semidreptele $MO \subset (ABCD)$ și $MV \subset (VBC)$ sunt perpendiculare pe muchia $BC$ în $M$ , deci unghiul plan corespunzător este $\angle VMO$ .

Pasul 3 — calculăm. $VO \perp (ABCD)$ implică $VO \perp OM$ , deci triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$ : $\tan(\angle VMO) = \frac{VO}{OM} = \frac{6}{6} = 1 \ \Rightarrow\ m(\angle VMO) = 45^\circ.$

Concluzie: unghiul dintre fața laterală $(VBC)$ și planul bazei are măsura $45^\circ$ .

Exemplul 3

Un cilindru circular drept are raza bazei $R = 3$ cm și înălțimea $h = 8$ cm. Determinați aria secțiunii axiale și lungimea diagonalei acesteia.

Secțiunea axială a cilindrului este dreptunghiul $ABB'A'$ , unde $AB$ este un diametru al bazei de jos, iar $A'B'$ diametrul corespunzător al bazei de sus.

Dimensiunile dreptunghiului: $AB = 2R = 6$ cm și $AA' = h = 8$ cm.

Aria: $\mathcal{A} = 2R \cdot h = 6 \cdot 8 = 48 \text{ cm}^2.$

Diagonala: în triunghiul dreptunghic $ABB'$ ( $\angle B = 90^\circ$ ), cu teorema lui Pitagora: $AB'^2 = AB^2 + BB'^2 = 36 + 64 = 100 \ \Rightarrow\ AB' = 10 \text{ cm}.$

Concluzie: aria secțiunii axiale este $48$ cm $^2$ , iar diagonala ei are $10$ cm.

Greșeli frecvente

Măsurarea diedrului cu semidrepte care NU sunt perpendiculare pe muchie (de exemplu, la piramidă, folosirea muchiei laterale $VB$ în loc de apotema $VM$: $VB$ nu este perpendiculară pe $BC$). Corect: unghiul plan corespunzător se construiește cu două semidrepte perpendiculare pe muchie în același punct, câte una în fiecare față, iar perpendicularitatea se demonstrează.
Afirmația „dacă $\alpha \perp \beta$, atunci orice dreaptă din $\alpha$ este perpendiculară pe $\beta$” este falsă. Corect: doar dreptele din $\alpha$ perpendiculare pe muchia de intersecție $\alpha \cap \beta$ sunt perpendiculare pe $\beta$; de exemplu, $(ABB'A') \perp (ABCD)$ în cub, dar $AB' \subset (ABB'A')$ nu este perpendiculară pe bază.
Confuzia dintre unghiul diedru (care poate fi și obtuz) și unghiul a două plane, care este prin convenție în $[0^\circ, 90^\circ]$: dacă din calcul rezultă un diedru obtuz, unghiul planelor este suplementul lui.
A considera că secțiunea diagonală a cubului este pătrat. Corect: este un dreptunghi cu dimensiunile $l\sqrt{2}$ (diagonala bazei) și $l$ (muchia), de arie $l^2\sqrt{2}$.
La secțiunea axială a conului, confundarea generatoarei cu înălțimea: laturile congruente ale triunghiului isoscel sunt generatoare ($G$), nu înălțimi; legătura este $G^2 = h^2 + R^2$.

Pe scurt

Diedrul = figura formată de două semiplane (fețele) cu aceeași dreaptă de margine (muchia). Măsura lui = măsura unghiului plan corespunzător, construit cu două semidrepte perpendiculare pe muchie în același punct, câte una în fiecare față — perpendicularitatea se demonstrează (mediană în triunghi isoscel, T3P).
Plane perpendiculare (criteriu): dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, planele sunt perpendiculare; fețele laterale ale prismei drepte sunt perpendiculare pe bază.
Unghiul a două plane este diedrul ascuțit sau drept, deci în $[0^\circ, 90^\circ]$ .
La piramida regulată, diedrul dintre o față laterală și bază este $\angle VMO$ ( $M$ = mijlocul laturii bazei), cu $\tan(\angle VMO) = \dfrac{h}{a_b}$ .
Secțiunea diagonală a cubului de muchie $l$ : dreptunghi $l\sqrt{2} \times l$ , arie $l^2\sqrt{2}$ ; la paralelipipedul dreptunghic: $A = \sqrt{a^2+b^2}\cdot c$ .
Secțiuni axiale: la cilindru — dreptunghi $2R \times h$ , arie $2Rh$ ; la con — triunghi isoscel cu baza $2R$ și laturile $G$ , arie $Rh$ ; con echilateral: $G = 2R$ , $h = R\sqrt{3}$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.