Paralelipipedul dreptunghic și cubul: diagonale, arii, volume

Paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ este prisma dreaptă cu baza dreptunghi. Are 6 fețe (toate dreptunghiuri), 12 muchii și 8 vârfuri. Muchiile care pleacă din același vârf dau dimensiunile corpului: lungimea $a$, lățimea $b$ și înălțimea $c$. Fețele opuse sunt congruente și paralele.

Diagonala paralelipipedului este segmentul care unește două vârfuri ce nu aparțin aceleiași fețe (de exemplu $AC'$). Cele patru diagonale sunt congruente și au același mijloc (centrul de simetrie al corpului). Lungimea ei se obține aplicând teorema lui Pitagora de două ori: în baza $ABCD$, diagonala bazei este $AC = \sqrt{a^2+b^2}$; cum $CC' \perp (ABC)$, triunghiul $ACC'$ este dreptunghic în $C$, deci $AC'^2 = AC^2 + CC'^2$, adică $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Aria totală este suma ariilor celor 6 fețe: $\mathcal{A}_t = 2(ab + bc + ca)$. Aria laterală (fără cele două baze): $\mathcal{A}_l = 2c(a+b) = P_b \cdot c$. Volumul: $V = a \cdot b \cdot c$. Exemplu: pentru $a=12$, $b=4$, $c=3$ obținem $d = \sqrt{144+16+9} = 13$, $\mathcal{A}_t = 2(48+12+36) = 192$ și $V = 144$.

Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile egale ($a=b=c=l$); toate fețele sunt pătrate congruente. Din formulele generale rezultă:

• diagonala feței: $d_f = l\sqrt{2}$ (diagonala unui pătrat de latură $l$);
• diagonala cubului: $d = \sqrt{l^2+l^2+l^2} = l\sqrt{3}$;
• aria totală: $\mathcal{A}_t = 6l^2$; aria laterală: $\mathcal{A}_l = 4l^2$;
• volumul: $V = l^3$.

Secțiunea diagonală a cubului (de exemplu $ACC'A'$) este un dreptunghi cu dimensiunile $l\sqrt{2}$ (diagonala bazei) și $l$ (muchia laterală), deci are aria $l^2\sqrt{2}$. La paralelipipedul dreptunghic, secțiunea diagonală $ACC'A'$ este un dreptunghi cu dimensiunile $\sqrt{a^2+b^2}$ și $c$.

Formulele „se citesc" și invers: din $\mathcal{A}_t = 6l^2 = 54$ rezultă $l = 3$, apoi $V = 27$; din $d = l\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ rezultă $l = 4$. La probleme practice (cutii, rezervoare, bazine), volumul se leagă de capacitate: $1\ \text{dm}^3 = 1$ litru, $1\ \text{m}^3 = 1000$ litri.

În problemele de „nota 10", cubul și paralelipipedul sunt terenul preferat pentru distanțe și unghiuri: diagonala $BD$ a bazei este perpendiculară pe planul diagonal $(ACC')$, triunghiul $A'BD$ din cub este echilateral (toate laturile sunt diagonale de fețe, egale cu $l\sqrt{2}$), iar distanța de la un vârf al bazei la un plan de tipul $(A'BD)$ se calculează cu teorema celor trei perpendiculare sau prin echivalarea volumelor.