Evaluarea Națională

Piramida regulată (baze: triunghi echilateral, pătrat, hexagon): apotema, arii, volume

Piramida regulată este piramida cu baza poligon regulat (triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat) și cu piciorul înălțimii în centrul OO al bazei (centrul cercului circumscris). Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, iar muchiile laterale sunt congruente.

Elementele-cheie (notăm cu ll latura bazei, h=VOh = VO înălțimea):

  • apotema bazei ab=OMa_b = OM — distanța de la centrul bazei la mijlocul MM al unei laturi;
  • apotema piramidei ap=VMa_p = VM — înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârful VV;
  • raza cercului circumscris bazei R=OAR = OA — distanța de la centru la un vârf al bazei.

Cum VO⊥(ABC)VO \perp (ABC), triunghiurile VOMVOM și VOAVOA sunt dreptunghice în OO și dau relațiile fundamentale:

ap2=h2+ab2șim2=h2+R2,a_p^2 = h^2 + a_b^2 \qquad \text{și} \qquad m^2 = h^2 + R^2,

unde mm este muchia laterală. De reținut valorile pentru fiecare bază de latură ll: la triunghiul echilateral ab=l36a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{6}, R=l33R = \dfrac{l\sqrt{3}}{3}, Ab=l234\mathcal{A}_b = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}; la pătrat ab=l2a_b = \dfrac{l}{2}, R=l22R = \dfrac{l\sqrt{2}}{2}, Ab=l2\mathcal{A}_b = l^2; la hexagonul regulat ab=l32a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}, R=lR = l, Ab=3l232\mathcal{A}_b = \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}.

Ariile și volumul:

Al=Pb⋅ap2,At=Al+Ab,V=Ab⋅h3.\mathcal{A}_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2}, \qquad \mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_b, \qquad V = \frac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3}.

Exemplu: piramida patrulateră regulată cu l=8l = 8 cm și h=3h = 3 cm are ab=4a_b = 4 cm, ap=9+16=5a_p = \sqrt{9+16} = 5 cm, Al=32⋅52=80\mathcal{A}_l = \dfrac{32 \cdot 5}{2} = 80 cm², At=80+64=144\mathcal{A}_t = 80 + 64 = 144 cm² și V=64⋅33=64V = \dfrac{64 \cdot 3}{3} = 64 cm³.

Tetraedrul regulat este piramida triunghiulară regulată cu toate muchiile egale cu ll. Înălțimea sa este h=l63h = \dfrac{l\sqrt{6}}{3}, iar volumul V=l3212V = \dfrac{l^3\sqrt{2}}{12}; toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale, deci At=4⋅l234=l23\mathcal{A}_t = 4 \cdot \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} = l^2\sqrt{3}.

Unghiurile importante se citesc tot din triunghiurile dreptunghice cu vârful în OO: unghiul dintre o față laterală și planul bazei este ∠VMO\angle VMO (cu tg(∠VMO)=hab\text{tg}(\angle VMO) = \dfrac{h}{a_b}), iar unghiul dintre o muchie laterală și planul bazei este ∠VAO\angle VAO (cu tg(∠VAO)=hR\text{tg}(\angle VAO) = \dfrac{h}{R}). Distanța de la centrul OO la o față laterală se obține ducând OH⊥VMOH \perp VM în planul (VOM)(VOM) — construcție justificată prin BC⊥(VOM)BC \perp (VOM), demonstrată cu OM⊥BCOM \perp BC și VM⊥BCVM \perp BC.

Formule

  • Apotema piramidei regulate: ap2=h2+ab2a_p^2 = h^2 + a_b^2

  • Muchia laterală a piramidei regulate: m2=h2+R2m^2 = h^2 + R^2

  • Aria laterală a piramidei regulate: Al=Pb⋅ap2\mathcal{A}_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2}

  • Aria totală a piramidei regulate: At=Al+Ab\mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_b

  • Volumul piramidei: V=Ab⋅h3V = \frac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3}

  • Baza triunghi echilateral: apotema și raza: ab=l36,R=l33a_b = \frac{l\sqrt{3}}{6}, \quad R = \frac{l\sqrt{3}}{3}

  • Aria triunghiului echilateral: A=l234\mathcal{A} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}

  • Baza pătrat: apotema și raza: ab=l2,R=l22a_b = \frac{l}{2}, \quad R = \frac{l\sqrt{2}}{2}

  • Baza hexagon regulat: apotema și raza: ab=l32,R=la_b = \frac{l\sqrt{3}}{2}, \quad R = l

  • Aria hexagonului regulat: A=3l232\mathcal{A} = \frac{3l^2\sqrt{3}}{2}

  • Înălțimea tetraedrului regulat: h=l63h = \frac{l\sqrt{6}}{3}

  • Volumul tetraedrului regulat: V=l3212V = \frac{l^3\sqrt{2}}{12}

  • Unghiul feței laterale cu baza: tg(∠VMO)=hab\text{tg}(\angle VMO) = \frac{h}{a_b}

  • Unghiul muchiei laterale cu baza: tg(∠VAO)=hR\text{tg}(\angle VAO) = \frac{h}{R}

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Piramida patrulateră regulată VABCDVABCD are latura bazei AB=8AB = 8 cm și înălțimea VO=3VO = 3 cm. Calculați apotema piramidei, aria laterală, aria totală și volumul.

Apotema bazei: ab=AB2=4a_b = \dfrac{AB}{2} = 4 cm.

Apotema piramidei (MM mijlocul lui BCBC; triunghiul VOMVOM dreptunghic în OO): ap=VM=VO2+OM2=9+16=5a_p = VM = \sqrt{VO^2 + OM^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 cm.

Al=Pb⋅ap2=32⋅52=80\mathcal{A}_l = \dfrac{P_b \cdot a_p}{2} = \dfrac{32 \cdot 5}{2} = 80 cm²; At=80+82=144\mathcal{A}_t = 80 + 8^2 = 144 cm².

V=Ab⋅h3=64⋅33=64V = \dfrac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3} = \dfrac{64 \cdot 3}{3} = 64 cm³.

Exemplul 2

Calculați înălțimea, aria totală și volumul tetraedrului regulat cu muchia de 66 cm.

Înălțimea: h=l63=663=26h = \dfrac{l\sqrt{6}}{3} = \dfrac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6} cm.

Aria totală (4 fețe echilaterale): At=l23=363\mathcal{A}_t = l^2\sqrt{3} = 36\sqrt{3} cm².

Volumul: Ab=3634=93\mathcal{A}_b = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} cm², deci V=93⋅263=618=182V = \dfrac{9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6}}{3} = 6\sqrt{18} = 18\sqrt{2} cm³ (verificare cu formula directă: V=l3212=216212=182V = \dfrac{l^3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} cm³).

Exemplul 3

Piramida hexagonală regulată VABCDEFVABCDEF are latura bazei l=6l = 6 cm și înălțimea VO=3VO = 3 cm. Calculați aria laterală și volumul piramidei.

Apotema bazei (hexagon): ab=l32=33a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} cm.

Apotema piramidei: ap=h2+ab2=9+27=6a_p = \sqrt{h^2 + a_b^2} = \sqrt{9 + 27} = 6 cm.

Al=Pb⋅ap2=36⋅62=108\mathcal{A}_l = \dfrac{P_b \cdot a_p}{2} = \dfrac{36 \cdot 6}{2} = 108 cm².

Ab=3l232=3⋅36⋅32=543\mathcal{A}_b = \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3} cm², deci V=543⋅33=543V = \dfrac{54\sqrt{3} \cdot 3}{3} = 54\sqrt{3} cm³.

Greșeli frecvente

  • Confuzia dintre apotema bazei ($a_b = OM$, în planul bazei) și apotema piramidei ($a_p = VM$, pe fața laterală). Relația corectă este $a_p^2 = h^2 + a_b^2$, deci întotdeauna $a_p > a_b$ și $a_p > h$.
  • Folosirea razei în locul apotemei la hexagon: la hexagonul regulat $R = l$, dar $a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$; în $a_p^2 = h^2 + a_b^2$ intră apotema, nu raza.
  • Omiterea împărțirii la 3 la volum: $V = \dfrac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3}$, nu $\mathcal{A}_b \cdot h$ (aceea este formula prismei).
  • La aria laterală se uită împărțirea la 2: $\mathcal{A}_l = \dfrac{P_b \cdot a_p}{2}$ (suma ariilor triunghiurilor isoscele).
  • La tetraedrul regulat, folosirea înălțimii feței ($\dfrac{l\sqrt{3}}{2}$) drept înălțime a corpului; corect: $h = \dfrac{l\sqrt{6}}{3}$.

Pe scurt

  • Piramida regulată: bază poligon regulat, VO⊥VO \perp bază în centrul OO; fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.
  • Relații fundamentale: ap2=h2+ab2a_p^2 = h^2 + a_b^2 și m2=h2+R2m^2 = h^2 + R^2 (din triunghiurile dreptunghice VOMVOM, VOAVOA).
  • Al=Pb⋅ap2\mathcal{A}_l = \dfrac{P_b \cdot a_p}{2}, At=Al+Ab\mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_b, V=Ab⋅h3V = \dfrac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3}.
  • Apotemele bazelor: triunghi l36\dfrac{l\sqrt{3}}{6}, pătrat l2\dfrac{l}{2}, hexagon l32\dfrac{l\sqrt{3}}{2}; razele: l33\dfrac{l\sqrt{3}}{3}, l22\dfrac{l\sqrt{2}}{2}, ll.
  • Tetraedrul regulat: h=l63h = \dfrac{l\sqrt{6}}{3}, At=l23\mathcal{A}_t = l^2\sqrt{3}, V=l3212V = \dfrac{l^3\sqrt{2}}{12}.
  • Unghiul față–bază se măsoară în ∠VMO\angle VMO, unghiul muchie–bază în ∠VAO\angle VAO; distanțele la fețe se construiesc în planul (VOM)(VOM).

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.