Evaluarea Națională

Trunchiul de piramidă regulată: arii și volume

Trunchiul de piramidă regulată se obține secționând o piramidă regulată cu un plan paralel cu baza și îndepărtând piramida mică de deasupra secțiunii. Rămân două baze paralele și asemenea: baza mare (cu latura LL, perimetrul PBP_B, aria AB\mathcal{A}_B, apotema aBa_B) și baza mică (cu latura ll, perimetrul PbP_b, aria Ab\mathcal{A}_b, apotema aba_b). Fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.

Elementele trunchiului:

  • înălțimea h=OO′h = OO' — distanța dintre centrele celor două baze; OO′OO' este perpendiculară pe ambele baze;
  • apotema trunchiului at=MM′a_t = MM' — înălțimea unei fețe laterale (segmentul care unește mijloacele laturilor paralele ale trapezului);
  • muchia laterală mm — latura neparalelă a trapezului.

Proiectând M′M' (mijlocul laturii bazei mici) pe planul bazei mari, piciorul PP cade pe apotema OMOM, la distanța aba_b de centru, deci PM=aB−abPM = a_B - a_b. Din triunghiul dreptunghic M′PMM'PM rezultă relația fundamentală:

at2=h2+(aB−ab)2.a_t^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2.

Analog, proiectând un vârf al bazei mici, se obține pentru muchia laterală m2=h2+(RB−Rb)2m^2 = h^2 + (R_B - R_b)^2, unde RBR_B, RbR_b sunt razele cercurilor circumscrise bazelor.

Ariile și volumul:

Al=(PB+Pb)⋅at2,At=Al+AB+Ab,\mathcal{A}_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}, \qquad \mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b,

V=h3(AB+Ab+AB⋅Ab).V = \frac{h}{3}\left(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b}\right).

Exemplu: trunchiul de piramidă patrulateră regulată cu L=10L = 10 cm, l=4l = 4 cm, h=4h = 4 cm are aB−ab=5−2=3a_B - a_b = 5 - 2 = 3 cm, deci at=16+9=5a_t = \sqrt{16+9} = 5 cm; Al=(40+16)⋅52=140\mathcal{A}_l = \dfrac{(40+16) \cdot 5}{2} = 140 cm² și V=43(100+16+1600)=43⋅156=208V = \dfrac{4}{3}(100 + 16 + \sqrt{1600}) = \dfrac{4}{3} \cdot 156 = 208 cm³.

Legătura cu piramida din care provine. Dacă piramida mare are înălțimea HH, iar secțiunea se face la distanța H−hH - h de vârf, raportul de asemănare este k=lL=H−hHk = \dfrac{l}{L} = \dfrac{H-h}{H}. De aici se poate reconstitui HH și se poate calcula volumul trunchiului și ca diferență: Vtrunchi=Vpiramida mare−Vpiramida micaV_{trunchi} = V_{piramida\ mare} - V_{piramida\ mica}.

La bazele particulare se folosesc apotemele cunoscute: pătrat L2\dfrac{L}{2}, triunghi echilateral L36\dfrac{L\sqrt{3}}{6}, hexagon regulat L32\dfrac{L\sqrt{3}}{2}. Unghiul diedru dintre o față laterală și baza mare este ∠M′MO\angle M'MO și se calculează în triunghiul M′PMM'PM: tg(∠M′MP)=haB−ab\text{tg}(\angle M'MP) = \dfrac{h}{a_B - a_b}.

Formule

  • Apotema trunchiului de piramidă regulată: at2=h2+(aB−ab)2a_t^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2

  • Muchia laterală a trunchiului: m2=h2+(RB−Rb)2m^2 = h^2 + (R_B - R_b)^2

  • Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată: Al=(PB+Pb)⋅at2\mathcal{A}_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}

  • Aria totală a trunchiului: At=Al+AB+Ab\mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b

  • Volumul trunchiului de piramidă: V=h3(AB+Ab+AB⋅Ab)V = \frac{h}{3}\left(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b}\right)

  • Raportul de asemănare al bazelor: k=lL=H−hHk = \frac{l}{L} = \frac{H - h}{H}

  • Raportul ariilor bazelor: AbAB=k2\frac{\mathcal{A}_b}{\mathcal{A}_B} = k^2

  • Volumul ca diferență: Vtrunchi=Vpiramida mare−Vpiramida micaV_{trunchi} = V_{piramida\ mare} - V_{piramida\ mica}

  • Unghiul feței laterale cu baza mare: tg(∠M′MP)=haB−ab\text{tg}(\angle M'MP) = \frac{h}{a_B - a_b}

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are laturile bazelor AB=10AB = 10 cm, A′B′=4A'B' = 4 cm și înălțimea de 44 cm. Calculați apotema trunchiului, aria laterală și volumul.

Apotemele bazelor: aB=102=5a_B = \dfrac{10}{2} = 5 cm, ab=42=2a_b = \dfrac{4}{2} = 2 cm.

Apotema trunchiului: at=h2+(aB−ab)2=16+9=5a_t = \sqrt{h^2 + (a_B - a_b)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 cm.

Al=(PB+Pb)⋅at2=(40+16)⋅52=140\mathcal{A}_l = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2} = \dfrac{(40+16) \cdot 5}{2} = 140 cm².

AB=100\mathcal{A}_B = 100 cm², Ab=16\mathcal{A}_b = 16 cm², ABAb=1600=40\sqrt{\mathcal{A}_B \mathcal{A}_b} = \sqrt{1600} = 40 cm².

V=43(100+16+40)=4⋅1563=208V = \dfrac{4}{3}(100 + 16 + 40) = \dfrac{4 \cdot 156}{3} = 208 cm³.

Exemplul 2

Un trunchi de piramidă hexagonală regulată are laturile bazelor de 88 cm și 44 cm și înălțimea de 22 cm. Calculați aria laterală și volumul trunchiului.

Apotemele bazelor: aB=832=43a_B = \dfrac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} cm, ab=432=23a_b = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} cm; aB−ab=23a_B - a_b = 2\sqrt{3} cm.

at=4+12=4a_t = \sqrt{4 + 12} = 4 cm, deci Al=(48+24)⋅42=144\mathcal{A}_l = \dfrac{(48+24) \cdot 4}{2} = 144 cm².

Ariile bazelor: AB=3⋅6432=963\mathcal{A}_B = \dfrac{3 \cdot 64\sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3} cm², Ab=3⋅1632=243\mathcal{A}_b = \dfrac{3 \cdot 16\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} cm²; ABAb=96⋅24⋅3=483\sqrt{\mathcal{A}_B \mathcal{A}_b} = \sqrt{96 \cdot 24 \cdot 3} = 48\sqrt{3} cm².

V=23(963+243+483)=23⋅1683=1123V = \dfrac{2}{3}(96\sqrt{3} + 24\sqrt{3} + 48\sqrt{3}) = \dfrac{2}{3} \cdot 168\sqrt{3} = 112\sqrt{3} cm³.

Greșeli frecvente

  • Aplicarea relației piramidei $a_t^2 = h^2 + a_B^2$ la trunchi; corect: $a_t^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2$ — intervine diferența apotemelor.
  • Uitarea radicalului din formula volumului: $V = \dfrac{h}{3}(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \mathcal{A}_b})$, nu $\dfrac{h}{3}(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b)$.
  • La aria laterală se folosește un singur perimetru: corect $\mathcal{A}_l = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}$ (suma perimetrelor celor două baze).
  • Confuzia dintre înălțimea trunchiului ($h = OO'$) și apotema trunchiului ($a_t = MM'$, pe fața laterală); întotdeauna $a_t > h$.
  • La aria totală se adună o singură bază: corect $\mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b$ (ambele baze).

Pe scurt

  • Trunchiul de piramidă regulată provine dintr-o piramidă regulată secționată cu un plan paralel cu baza; bazele sunt poligoane regulate asemenea, fețele laterale trapeze isoscele congruente.
  • Relația fundamentală: at2=h2+(aB−ab)2a_t^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2; pentru muchie: m2=h2+(RB−Rb)2m^2 = h^2 + (R_B - R_b)^2.
  • Al=(PB+Pb)⋅at2\mathcal{A}_l = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}; At=Al+AB+Ab\mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b.
  • V=h3(AB+Ab+ABAb)V = \dfrac{h}{3}(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \mathcal{A}_b}) sau diferența volumelor celor două piramide.
  • Raportul de asemănare: k=lL=H−hHk = \dfrac{l}{L} = \dfrac{H-h}{H}; raportul ariilor bazelor este k2k^2.
  • Unghiul feței laterale cu baza mare: tg=haB−ab\text{tg} = \dfrac{h}{a_B - a_b}, în triunghiul dreptunghic format de înălțime, apotema trunchiului și proiecție.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.