Evaluarea Națională

Sfera: arie și volum

Sfera de centru OO și rază RR este mulțimea punctelor din spațiu aflate la distanța RR de punctul OO. Corpul sferic (bila) este mulțimea punctelor aflate la distanță cel mult RR de centru — sfera este „coaja", bila este corpul plin. Elementele sferei seamănă cu ale cercului: raza RR, diametrul D=2RD = 2R (orice segment prin centru cu capetele pe sferă).

Formulele de bază (de memorat — sfera nu are desfășurare plană, formulele nu se pot „reconstrui" din arii de poligoane):

A=4πR2,V=4πR33.\mathcal{A} = 4\pi R^2, \qquad V = \frac{4\pi R^3}{3}.

Exemplu: pentru R=3R = 3 cm, A=36π\mathcal{A} = 36\pi cm² și V=4π⋅273=36πV = \dfrac{4\pi \cdot 27}{3} = 36\pi cm³.

Formulele se citesc și invers: din A=64π\mathcal{A} = 64\pi rezultă R2=16R^2 = 16, deci R=4R = 4; din V=288πV = 288\pi rezultă R3=3⋅2884=216R^3 = \dfrac{3 \cdot 288}{4} = 216, deci R=6R = 6.

Secțiunea plană a unei sfere este un cerc. Dacă planul trece prin centru, secțiunea este un cerc mare, de rază RR (cea mai mare secțiune posibilă). Dacă planul se află la distanța d<Rd < R de centru, raza rr a cercului de secțiune se calculează în triunghiul dreptunghic format de centru, piciorul perpendicularei pe plan și un punct al cercului de secțiune:

R2=d2+r2.R^2 = d^2 + r^2.

Sfera și corpurile geometrice. Două configurații apar frecvent:

  • sfera înscrisă în cub (tangentă la toate fețele): R=l2R = \dfrac{l}{2}, unde ll este muchia cubului;
  • sfera circumscrisă cubului / paralelipipedului dreptunghic (trece prin toate vârfurile): centrul este punctul de intersecție a diagonalelor, iar R=d2R = \dfrac{d}{2} — jumătate din diagonala corpului (d=l3d = l\sqrt{3} la cub, d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} la paralelipiped).

Proporționalitate. Aria sferei crește cu pătratul razei, volumul cu cubul: dacă raza se dublează, aria se mărește de 44 ori, iar volumul de 88 ori. Această observație rezolvă rapid problemele de topire/returnare: dintr-o bilă de rază 33 se pot forma 2727 de bile de rază 11, pentru că volumul se conservă și VmareVmica=(31)3=27\dfrac{V_{mare}}{V_{mica}} = \left(\dfrac{3}{1}\right)^3 = 27.

La problemele practice (rezervoare sferice, mingi, cupole emisferice) se folosește și semisfera: volumul ei este jumătate din volumul sferei, 2πR33\dfrac{2\pi R^3}{3}, iar aria totală a corpului semisferic este 2πR2+πR2=3πR22\pi R^2 + \pi R^2 = 3\pi R^2 (calota plus discul de bază).

Formule

  • Aria sferei: A=4πR2\mathcal{A} = 4\pi R^2

  • Volumul sferei (al bilei): V=4πR33V = \frac{4\pi R^3}{3}

  • Diametrul sferei: D=2RD = 2R

  • Raza secțiunii plane (plan la distanța d de centru): r2=R2−d2r^2 = R^2 - d^2

  • Sfera înscrisă în cub: R=l2R = \frac{l}{2}

  • Sfera circumscrisă cubului: R=l32R = \frac{l\sqrt{3}}{2}

  • Sfera circumscrisă paralelipipedului dreptunghic: R=a2+b2+c22R = \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}

  • Volumul semisferei: V=2πR33V = \frac{2\pi R^3}{3}

  • Raportul volumelor a două sfere: V1V2=(R1R2)3\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3

Exemple rezolvate

Exemplul 1

O sferă are raza R=6R = 6 cm. Calculați aria sferei și volumul bilei corespunzătoare.

A=4πR2=4π⋅36=144π\mathcal{A} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi cm².

V=4πR33=4π⋅2163=288πV = \dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 216}{3} = 288\pi cm³.

Exemplul 2

Aria unei sfere este de 100π100\pi cm². Calculați volumul bilei mărginite de sferă.

4πR2=100π⇒R2=25⇒R=54\pi R^2 = 100\pi \Rightarrow R^2 = 25 \Rightarrow R = 5 cm.

V=4πR33=4π⋅1253=500π3V = \dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 125}{3} = \dfrac{500\pi}{3} cm³.

Exemplul 3

O sferă este înscrisă într-un cub cu muchia de 1010 cm (sfera este tangentă la toate fețele cubului). Calculați volumul sferei.

Sfera înscrisă atinge fiecare față în centrul ei, deci diametrul sferei este egal cu distanța dintre două fețe opuse, adică muchia cubului: 2R=10⇒R=52R = 10 \Rightarrow R = 5 cm.

V=4πR33=4π⋅1253=500π3V = \dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 125}{3} = \dfrac{500\pi}{3} cm³.

Greșeli frecvente

  • Confuzia dintre formula ariei și cea a volumului: $\mathcal{A} = 4\pi R^2$ (pătratul razei), $V = \dfrac{4\pi R^3}{3}$ (cubul razei, împărțit la 3).
  • Folosirea ariei cercului $\pi R^2$ pentru aria sferei; aria sferei este de 4 ori mai mare: $4\pi R^2$.
  • La citirea inversă din volum se uită înmulțirea cu $\dfrac{3}{4}$: din $V = 288\pi$ rezultă $R^3 = \dfrac{3 \cdot 288}{4} = 216$, nu $R^3 = 288$.
  • La dublarea razei se afirmă că volumul se dublează; corect: volumul crește de $2^3 = 8$ ori, aria de $2^2 = 4$ ori.
  • La sfera circumscrisă cubului se folosește muchia în loc de diagonală: corect $R = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$ (jumătate din diagonala cubului), nu $\dfrac{l}{2}$ (aceasta este raza sferei înscrise).

Pe scurt

  • Sfera: A=4πR2\mathcal{A} = 4\pi R^2; bila: V=4πR33V = \dfrac{4\pi R^3}{3}.
  • Secțiunea plană printr-o sferă este un cerc; prin centru — cerc mare de rază RR; la distanța dd de centru — cerc de rază rr cu r2=R2−d2r^2 = R^2 - d^2.
  • Sfera înscrisă în cub: R=l2R = \dfrac{l}{2}; sfera circumscrisă cubului: R=l32R = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}; circumscrisă paralelipipedului: R=d2R = \dfrac{d}{2}.
  • Raportul ariilor a două sfere este k2k^2, raportul volumelor este k3k^3 (kk = raportul razelor).
  • Semisfera: volum 2πR33\dfrac{2\pi R^3}{3}; aria totală a corpului semisferic 3πR23\pi R^2.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.