Intervale numerice; intersecția și reuniunea intervalelor

Un interval este o submulțime specială a mulțimii numerelor reale $\mathbb{R}$, formată din toate numerele reale cuprinse între două numere date $a$ și $b$ (cu $a \le b$), numite capetele intervalului. După cum capetele sunt sau nu incluse, deosebim patru tipuri de intervale mărginite:

• Interval închis: $[a,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$ — ambele capete sunt incluse; pe axă se marchează cu puncte pline în $a$ și $b$.
• Interval deschis: $(a,b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ — niciun capăt nu este inclus; pe axă se marchează cu puncte goale (cerculețe) în $a$ și $b$.
• Interval semideschis la dreapta: $[a,b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}$ — $a$ este inclus, $b$ nu.
• Interval semideschis la stânga: $(a,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}$ — $b$ este inclus, $a$ nu.

Dacă $a = b$, intervalul închis $[a,a] = \{a\}$ conține un singur element, iar intervalele deschise sau semideschise cu $a = b$ sunt mulțimea vidă (de exemplu $(a,a) = \emptyset$).

Pe lângă intervalele mărginite, există și intervale nemărginite, care au drept capăt simbolurile $-\infty$ sau $+\infty$ — acestea nu sunt numere reale, ci notează faptul că intervalul se prelungește la nesfârșit într-o direcție; capătul dinspre infinit este întotdeauna exclus (paranteză rotundă, niciodată paranteză dreaptă):

• $[a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\}$
• $(a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}$
• $(-\infty, a] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le a\}$
• $(-\infty, a) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < a\}$
• $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$

Intersecția și reuniunea intervalelor. Fiind mulțimi, intervalelor li se aplică operațiile de intersecție și reuniune. Intersecția a două intervale este porțiunea comună; ea poate fi un interval sau mulțimea vidă, dacă intervalele nu se suprapun deloc. Reuniunea a două intervale este tot un interval dacă acestea se suprapun sau au (cel puțin) un capăt comun; în caz contrar, dacă între ele rămâne un „gol”, reuniunea este o mulțime formată din două intervale disjuncte, notată cu simbolul $\cup$.

De exemplu, pentru $A = [1,5]$ și $B = (3,8)$: $A \cap B = (3,5]$ (numerele strict mai mari decât $3$ și cel mult egale cu $5$), iar $A \cup B = [1,8)$, deoarece cele două intervale se suprapun pe $(3,5]$, deci reuniunea este un interval unic, de la cel mai mic capăt inclus ($1$) până la cel mai mare capăt ($8$, neinclus).

În schimb, pentru $C = [0,2]$ și $D = [5,7]$, care nu au niciun element comun, $C \cap D = \emptyset$, iar $C \cup D = [0,2] \cup [5,7]$ rămâne o reuniune de două intervale disjuncte, care nu poate fi scrisă ca un singur interval.

La determinarea capătului comun într-o intersecție sau reuniune, se compară mai întâi capetele numeric, iar tipul parantezei (inclus sau exclus) se stabilește separat, analizând din care interval original provine acel capăt.