Puterea cu exponent natural; reguli de calcul cu puteri; compararea puterilor

Puterea cu exponent natural este o scriere prescurtată pentru un produs de factori egali. Pentru un număr natural $a$ (numit bază) și un număr natural $n\ge 2$ (numit exponent), definim $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{n\ \text{factori}}$ . Citim $a^n$ „ $a$ la puterea $n$ ”. Cazul particular $n=2$ se numește pătratul numărului $a$ ( $a^2=a\cdot a$ ), iar $n=3$ se numește cubul lui $a$ ( $a^3=a\cdot a\cdot a$ ).

Pentru completarea definiției, se convine: $a^1=a$ (orice număr la puterea 1 este el însuși) și $a^0=1$ , pentru orice $a\ne 0$ (orice număr nenul la puterea 0 este 1).

Reguli de calcul cu puteri (pentru numere naturale $a,b$ , nenule atunci când este necesar, și exponenți naturali $m,n$ ):

Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: se adună exponenții. $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ .
Împărțirea puterilor cu aceeași bază: se scad exponenții, cu condiția $m\ge n$ și $a\ne 0$ . $a^m:a^n=a^{m-n}$ .
Puterea unei puteri: se înmulțesc exponenții. $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ .
Puterea unui produs: se ridică la putere fiecare factor. $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ .
Puterea unui cât: se ridică la putere atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul. $(a:b)^n=a^n:b^n$ , pentru $b\ne 0$ .

Compararea puterilor se face astfel:

dacă bazele sunt egale și mai mari decât 1, puterea cu exponentul mai mare este mai mare: din $a>1$ și $m>n$ rezultă $a^m>a^n$ ;
dacă exponenții sunt egali, puterea cu baza mai mare este mai mare: din $a>b>0$ rezultă $a^n>b^n$ , pentru $n\ge 1$ ;
dacă atât bazele, cât și exponenții sunt diferiți, cele două puteri se calculează efectiv, iar apoi se compară valorile obținute (de exemplu, $3^4=81$ este mai mare decât $4^3=64$ , deși baza 3 este mai mică decât baza 4).

Este important de reținut că regulile de mai sus se aplică STRICT atunci când bazele (la înmulțirea/împărțirea puterilor) sau exponenții (la ridicarea unei puteri la altă putere) coincid; ele nu transformă o sumă sau o diferență de puteri — NU există o regulă de forma $a^m+a^n=a^{m+n}$ .

Puterile sunt folosite frecvent pentru scrierea compactă a numerelor mari și pentru calcule rapide: de exemplu, $2^{10}=1\,024$ , $10^3=1\,000$ , iar $5^4=625$ . Aceste reguli stau și la baza scrierii numerelor în baza 10, unde fiecare cifră este înmulțită cu o putere a lui 10 corespunzătoare ordinului ei.

Formule

Definiția puterii: $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{n\ \text{factori}},\quad n\ge 2$
Cazuri particulare: $a^1=a,\quad a^0=1\ (a\ne 0)$
Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Împărțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m:a^n=a^{m-n}\quad (a\ne 0,\ m\ge n)$
Puterea unei puteri: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
Puterea unui produs: $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
Puterea unui cât: $(a:b)^n=a^n:b^n\quad (b\ne 0)$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Calculați $2^{10}$ , scriind pas cu pas produsul factorilor.

$2^{10}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$ . Calculăm succesiv: $2^1=2$ , $2^2=4$ , $2^3=8$ , $2^4=16$ , $2^5=32$ , $2^6=64$ , $2^7=128$ , $2^8=256$ , $2^9=512$ , $2^{10}=1\,024$ .

Deci $2^{10}=1\,024$ .

Exemplul 2

Calculați, folosind regulile de calcul cu puteri: $\dfrac{5^6\cdot 5^3}{5^7}$ .

Aplicăm întâi înmulțirea puterilor cu aceeași bază, la numărător: $5^6\cdot 5^3=5^{6+3}=5^9$ .

Apoi aplicăm împărțirea puterilor cu aceeași bază: $5^9:5^7=5^{9-7}=5^2=25$ .

Deci $\dfrac{5^6\cdot 5^3}{5^7}=25$ .

Exemplul 3

Comparați numerele: a) $2^{15}$ și $2^{9}$ ; b) $7^{6}$ și $5^{6}$ ; c) $3^{4}$ și $4^{3}$ .

a) Bazele sunt egale (2) și mai mari decât 1; exponentul 15 este mai mare decât 9, deci $2^{15}>2^{9}$ .

b) Exponenții sunt egali (6); baza 7 este mai mare decât baza 5, deci $7^{6}>5^{6}$ .

c) Bazele și exponenții sunt diferiți, deci calculăm efectiv: $3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$ și $4^3=4\cdot4\cdot4=64$ . Cum $81>64$ , rezultă $3^4>4^3$ .

Exemplul 4

Verificați egalitatea $(2\cdot 5)^3=2^3\cdot 5^3$ , calculând ambii membri.

Membrul stâng: $(2\cdot5)^3=10^3=1\,000$ .

Membrul drept: $2^3\cdot5^3=8\cdot125=1\,000$ .

Cum ambele calcule dau $1\,000$ , egalitatea este verificată, confirmând regula puterii unui produs: $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ .

Greșeli frecvente

Se confundă $a^m\cdot a^n$ cu $a^{m\cdot n}$: la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se ADUNĂ, nu se înmulțesc — corect: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
La $(a^m)^n$, se adună greșit exponenții în loc să-i înmulțească; corect: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$, nu $a^{m+n}$.
Se crede greșit că $a^0=0$; corect, $a^0=1$ pentru orice $a\ne 0$.
La compararea puterilor cu baze și exponenți diferiți, se trage o concluzie fără a calcula efectiv valorile (de exemplu, se presupune că baza mai mare dă mereu puterea mai mare, ignorând exponentul); în astfel de cazuri, cele două puteri trebuie calculate efectiv și comparate direct.

Pe scurt

$a^n=a\cdot a\cdot ... \cdot a$ ( $n$ factori); $a^1=a$ ; $a^0=1$ (pentru $a\ne 0$ ).
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ ; $a^m:a^n=a^{m-n}$ (pentru $a\ne 0$ , $m\ge n$ ).
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ ; $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ ; $(a:b)^n=a^n:b^n$ .
Baze egale (și $>1$ ) → se compară exponenții; exponenți egali → se compară bazele.
Baze și exponenți diferiți → se calculează efectiv ambele puteri și se compară valorile obținute.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.