Scrierea în baza 10 și în baza 2 (fără operații în baza 2)

Sistemul de numerație zecimal (baza 10) este un sistem pozițional: valoarea fiecărei cifre dintr-un număr depinde de poziția pe care o ocupă, nu doar de cifra în sine. Pornind de la dreapta, pozițiile au valorile $10^0=1$ (unități), $10^1=10$ (zeci), $10^2=100$ (sute), $10^3=1000$ (mii) ș.a.m.d. Orice număr natural scris cu cifrele $\overline{a_n a_{n-1}\ldots a_1 a_0}$ se poate descompune astfel: $\overline{a_n a_{n-1}\ldots a_1 a_0} = a_n\cdot10^n + a_{n-1}\cdot10^{n-1} + \ldots + a_1\cdot10 + a_0$ . De exemplu, $453 = 4\cdot10^2+5\cdot10+3$ , iar $2026=2\cdot10^3+0\cdot10^2+2\cdot10+6$ .

Pe lângă baza 10, un număr natural poate fi scris și în baza 2 (sistemul binar), folosind doar cifrele 0 și 1. În baza 2, pozițiile au valorile puterilor lui 2: $2^0=1$ , $2^1=2$ , $2^2=4$ , $2^3=8$ , $2^4=16$ , $2^5=32$ ș.a.m.d. Un număr scris în baza 2 ca $\overline{a_na_{n-1}\ldots a_0}^{(2)}$ , cu $a_i\in\{0,1\}$ , reprezintă în baza 10 numărul $a_n\cdot2^n+a_{n-1}\cdot2^{n-1}+\ldots+a_1\cdot2+a_0$ .

Trecerea din baza 2 în baza 10 se face exact prin această descompunere după puterile lui 2, urmată de adunarea termenilor. De exemplu, $1101_2 = 1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0 = 8+4+0+1=13$ .

Trecerea din baza 10 în baza 2 se face prin împărțiri succesive la 2: se împarte numărul la 2, se reține restul (0 sau 1), apoi se împarte câtul obținut din nou la 2, și tot așa, până când câtul devine 0. Scrierea în baza 2 se obține citind resturile de jos în sus (adică de la ultimul rest obținut către primul). De exemplu, pentru 25: $25:2=12$ rest $1$ ; $12:2=6$ rest $0$ ; $6:2=3$ rest $0$ ; $3:2=1$ rest $1$ ; $1:2=0$ rest $1$ . Citind resturile de jos în sus obținem $25=11001_2$ . Verificare: $1\cdot16+1\cdot8+0\cdot4+0\cdot2+1\cdot1=16+8+0+0+1=25$ .

Este important de reținut că programa actuală (OM 4730/2022) cere doar scrierea și citirea numerelor în baza 2 și conversiile între baza 10 și baza 2, fără efectuarea vreunei operații aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) direct cu cifre binare. Dacă trebuie efectuat un calcul cu numere date în baza 2, se transformă mai întâi fiecare număr în baza 10, se efectuează operația acolo, iar rezultatul poate fi apoi rescris, dacă e cerut, în baza 2.

De asemenea, un număr scris în baza 2 nu se citește ca și cum ar fi scris în baza 10: $101_2$ nu se citește „o sută unu”, ci reprezintă numărul $5$ din baza 10 ( $1\cdot4+0\cdot2+1\cdot1=5$ ).

Formule

Descompunerea unui număr în baza 10: $\overline{a_n a_{n-1}\ldots a_1 a_0} = a_n\cdot 10^n + a_{n-1}\cdot 10^{n-1} + \ldots + a_1\cdot 10 + a_0$
Descompunerea unui număr scris în baza 2: $\overline{a_n a_{n-1}\ldots a_1 a_0}^{(2)} = a_n\cdot 2^n + a_{n-1}\cdot 2^{n-1} + \ldots + a_1\cdot 2 + a_0, \quad a_i\in\{0,1\}$
Primele puteri ale lui 2: $2^0=1,\ 2^1=2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16,\ 2^5=32,\ 2^6=64$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Descompuneți numărul $2026$ ca sumă de puteri ale lui $10$ .

Identificăm cifrele după poziție: $2$ (mii), $0$ (sute), $2$ (zeci), $6$ (unități).

Scriem descompunerea: $2026 = 2\cdot10^3 + 0\cdot10^2 + 2\cdot10 + 6$ .

Verificare: $2000+0+20+6=2026$ . ✓

Exemplul 2

Scrieți numărul $45$ în baza $2$ .

Efectuăm împărțiri succesive la $2$ , reținând resturile:

$45:2=22$ rest $1$

$22:2=11$ rest $0$

$11:2=5$ rest $1$

$5:2=2$ rest $1$

$2:2=1$ rest $0$

$1:2=0$ rest $1$

Citim resturile de jos în sus: $45 = 101101_2$ .

Verificare: $1\cdot32+0\cdot16+1\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+1\cdot1 = 32+0+8+4+0+1=45$ . ✓

Exemplul 3

Scrieți în baza $10$ numărul $110110_2$ .

Descompunem după puterile lui $2$ , de la stânga la dreapta (exponenții descresc de la $5$ la $0$ ):

$110110_2 = 1\cdot2^5+1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+0\cdot2^0$

$= 32+16+0+4+2+0 = 54$ .

Deci $110110_2 = 54$ .

Greșeli frecvente

Citirea resturilor în ordinea în care au fost obținute (de sus în jos) în loc de la ultimul rest către primul (de jos în sus) — aceasta dă o scriere binară greșită.
Omiterea ultimului cât (care este întotdeauna $1$, chiar înainte ca împărțirea să se oprească) din șirul de resturi, pierzându-se astfel prima cifră a numărului binar.
Citirea unui număr scris în baza 2 ca și cum ar fi scris în baza 10 (de exemplu, se crede greșit că $101_2$ înseamnă „o sută unu”, când el reprezintă de fapt $5$ în baza 10).
La descompunerea în baza 10, atribuirea unui exponent greșit cifrei unităților — cifra unităților are exponentul $0$ (deoarece $10^0=1$), nu se omite din scriere.
Încercarea de a efectua direct o adunare sau o înmulțire cu cifre binare (de exemplu $1_2+1_2$ calculat „ca în baza 10”) — acest tip de calcul nu face parte din programă; orice operație se face după transformarea numerelor în baza 10.

Pe scurt

Baza 10 este un sistem pozițional: valoarea unei cifre depinde de poziția ei (unități, zeci, sute, mii...).
Descompunere în baza 10: $\overline{a_n\ldots a_0} = a_n\cdot10^n+\ldots+a_1\cdot10+a_0$ .
Baza 2 (binar) folosește doar cifrele $0$ și $1$ ; pozițiile au valorile $2^0,2^1,2^2,\ldots$
Din baza 10 în baza 2: împărțiri succesive la $2$ , resturile se citesc de jos în sus.
Din baza 2 în baza 10: se descompune după puterile lui $2$ și se adună termenii.
Nu se efectuează operații aritmetice direct în baza 2 — orice calcul se face convertind mai întâi numerele în baza 10.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.