Evaluarea Națională

Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor

La calculul unei expresii numerice cu mai multe operații, rezultatul nu depinde de ordinea în care „citim” expresia, ci de o ordine fixă de prioritate a operațiilor, obligatorie pentru ca toți cei care calculează aceeași expresie să obțină același rezultat.

Fără paranteze, ordinea efectuării operațiilor este: 1) se calculează mai întâi puterile; 2) apoi înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta; 3) în final adunările și scăderile, tot în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta. De exemplu, în 12+3⋅23−15:512+3\cdot2^3-15:5 se calculează întâi puterea 23=82^3=8, apoi înmulțirea 3⋅8=243\cdot8=24 și împărțirea 15:5=315:5=3, iar la final 12+24−3=3312+24-3=33.

O greșeală frecventă este calculul înmulțirilor/împărțirilor „în ordinea scrisă” fără a respecta stânga-dreapta atunci când apar mai multe la rând: în 20:4⋅520:4\cdot5 se calculează mai întâi 20:4=520:4=5 (pentru că împărțirea apare prima, de la stânga), apoi 5⋅5=255\cdot5=25; NU se grupează 4⋅54\cdot5 doar pentru că înmulțirea „pare mai importantă”.

Cu paranteze, prioritatea este dată de tipul parantezei, iar desfacerea lor se face din interior spre exterior, în ordinea: paranteze rotunde ( )(\ ) → paranteze pătrate [ ][\ ] → acolade { }\{\ \}. În interiorul fiecărei perechi de paranteze se aplică din nou, la rândul ei, aceeași ordine a operațiilor (puteri, apoi înmulțiri/împărțiri, apoi adunări/scăderi).

De exemplu, în 2⋅{3+[4⋅(5−2)+6]:2}−72\cdot\{3+[4\cdot(5-2)+6]:2\}-7 se calculează întâi paranteza rotundă (5−2)=3(5-2)=3; apoi paranteza pătrată [4⋅3+6]=[12+6]=18[4\cdot3+6]=[12+6]=18; apoi acolada {3+18:2}={3+9}=12\{3+18:2\}=\{3+9\}=12; iar la final 2⋅12−7=24−7=172\cdot12-7=24-7=17.

Respectarea strictă a acestei ordini este esențială mai ales atunci când expresia combină puteri, paranteze de toate cele trei tipuri și toate cele patru operații — situație tipică pentru itemii de calcul numeric de la Subiectul I al examenului de Evaluare Națională. La clasa a V-a, aceste exerciții se rezolvă exclusiv cu numere naturale; extinderea la numere negative se face abia la mulțimea numerelor întregi.

Formule

  • Ordinea operațiilor (fără paranteze): 1) puteri2) ×, : (staˆnga→dreapta)3) +, − (staˆnga→dreapta)1)\ \text{puteri} \quad 2)\ \times,\ : \ (\text{stânga}\to\text{dreapta}) \quad 3)\ +,\ - \ (\text{stânga}\to\text{dreapta})

  • Ordinea desfacerii parantezelor: ( ) → [ ] → { }(\ ) \ \to \ [\ ] \ \to \ \{\ \}

  • Exemplu de calcul fără paranteze: 12+3⋅23−15:5=12+24−3=3312+3\cdot2^3-15:5 = 12+24-3 = 33

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Calculați: 12+3⋅23−15:512+3\cdot2^3-15:5.

Se calculează mai întâi puterea: 23=82^3=8.

Apoi înmulțirea și împărțirea, în ordinea în care apar: 3⋅8=243\cdot8=24; 15:5=315:5=3.

Expresia devine 12+24−312+24-3. Adunăm și scădem de la stânga la dreapta: 12+24=3612+24=36; 36−3=3336-3=33.

Rezultat: 3333.

Exemplul 2

Calculați: 2⋅{3+[4⋅(5−2)+6]:2}−72\cdot\{3+[4\cdot(5-2)+6]:2\}-7.

Desfacem parantezele din interior spre exterior.

Paranteza rotundă: (5−2)=3(5-2)=3.

Paranteza pătrată: [4⋅3+6]=[12+6]=18[4\cdot3+6]=[12+6]=18 (înmulțirea înaintea adunării).

Acolada: {3+18:2}={3+9}=12\{3+18:2\}=\{3+9\}=12 (împărțirea înaintea adunării).

Expresia devine 2⋅12−72\cdot12-7. Calculăm: 2⋅12=242\cdot12=24; 24−7=1724-7=17.

Rezultat: 1717.

Exemplul 3

Calculați: 100−4⋅52+18:32100-4\cdot5^2+18:3^2.

Calculăm mai întâi puterile: 52=255^2=25 și 32=93^2=9.

Apoi înmulțirea și împărțirea: 4⋅25=1004\cdot25=100; 18:9=218:9=2.

Expresia devine 100−100+2100-100+2. De la stânga la dreapta: 100−100=0100-100=0; 0+2=20+2=2.

Rezultat: 22.

Greșeli frecvente

  • Efectuarea operațiilor strict de la stânga la dreapta, ignorând prioritatea înmulțirii/împărțirii față de adunare/scădere (ex: se calculează greșit $2+3\cdot4$ ca $(2+3)\cdot4=20$, în loc de $2+3\cdot4=2+12=14$).
  • Desfacerea parantezelor în ordine greșită — se începe cu acolada exterioară în loc de paranteza rotundă din interior; ordinea corectă este întotdeauna din interior spre exterior: rotunde → pătrate → acolade.
  • Calcularea puterii după înmulțire, ca și cum ar avea aceeași prioritate (ex: $3\cdot2^3$ calculat greșit ca $(3\cdot2)^3=216$, în loc de $3\cdot2^3=3\cdot8=24$).
  • La înmulțiri și împărțiri succesive fără paranteze, gruparea greșită a ultimilor doi factori în loc de calculul strict de la stânga la dreapta (ex: $20:4\cdot5$ calculat ca $20:(4\cdot5)=1$, în loc de $(20:4)\cdot5=25$).
  • Erori de „coborâre” a rezultatului unei paranteze în calculul exterior — se uită sau se schimbă greșit semnul termenului care înmulțește/împarte paranteza rezolvată.

Pe scurt

  • Fără paranteze: puteri → înmulțiri/împărțiri (stânga→dreapta) → adunări/scăderi (stânga→dreapta).
  • Parantezele se desfac din interior spre exterior: rotunde ( )(\ ) → pătrate [ ][\ ] → acolade { }\{\ \}.
  • În interiorul fiecărei paranteze se aplică din nou aceeași ordine a operațiilor.
  • 3⋅23≠(3⋅2)33\cdot2^3\neq(3\cdot2)^3: puterea se calculează înaintea înmulțirii.
  • 20:4⋅5=(20:4)⋅5=2520:4\cdot5=(20:4)\cdot5=25, calculat strict de la stânga la dreapta, nu 20:(4⋅5)20:(4\cdot5).
  • La clasa a V-a se lucrează exclusiv cu numere naturale; numerele negative apar abia la mulțimea numerelor întregi.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.