Divizori și multipli; criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10^n, 3, 9

Un număr natural $a$ este divizor al unui număr natural $b$ dacă există un număr natural $c$ astfel încât $b=a\cdot c$ ; spunem atunci că $b$ este multiplu al lui $a$ . Notăm acest fapt prin $a\mid b$ (se citește „ $a$ divide $b$ ”). De exemplu, $4\mid 12$ , deoarece $12=4\cdot 3$ : spunem că $4$ este divizor al lui $12$ , iar $12$ este multiplu al lui $4$ .

Orice număr natural nenul are cel puțin doi divizori: $1$ și el însuși. Numărul $1$ este divizor al oricărui număr natural. Numărul $0$ este multiplu al oricărui număr natural (deoarece $0=a\cdot 0$ , pentru orice $a$ ), dar $0$ nu este divizor al niciunui număr diferit de $0$ .

Mulțimea divizorilor unui număr $b$ se notează $D_b$ și se determină scriind toate perechile de numere al căror produs este $b$ . De exemplu, $D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$ , deoarece $12=1\cdot 12=2\cdot 6=3\cdot 4$ .

Mulțimea multiplilor unui număr $a$ se notează $M_a$ și este infinită: $M_a=\{0,a,2a,3a,\dots\}$ . De exemplu, $M_5=\{0,5,10,15,20,\dots\}$ .

Divizorii comuni a două (sau mai multe) numere sunt numerele care apar în ambele mulțimi de divizori. De exemplu, divizorii comuni ai lui $12$ și $18$ sunt $1,2,3,6$ (deoarece $D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$ , iar intersecția cu $D_{12}$ este $\{1,2,3,6\}$ ).

Multiplii comuni a două (sau mai multe) numere sunt numerele care apar în ambele mulțimi de multipli. De exemplu, primii multipli comuni nenuli ai lui $4$ și $6$ sunt $12,24,36,\dots$

Pentru a stabili rapid dacă un număr este divizibil cu altul, fără a efectua împărțirea, folosim criteriile de divizibilitate:

Criteriul cu 2: un număr este divizibil cu $2$ dacă ultima sa cifră este pară ( $0,2,4,6,8$ ). Exemplu: $358$ se divide cu $2$ (ultima cifră $8$ ), dar $357$ nu.
Criteriul cu 5: un număr este divizibil cu $5$ dacă ultima sa cifră este $0$ sau $5$ . Exemplu: $645$ și $780$ se divid cu $5$ , dar $647$ nu.
Criteriul cu $10^n$ : un număr este divizibil cu $10^n$ dacă ultimele $n$ cifre ale sale sunt toate egale cu $0$ . Exemplu: $4500$ se divide cu $10^2=100$ (ultimele două cifre sunt $00$ ), dar nu se divide cu $10^3=1000$ (ultimele trei cifre sunt $500$ , nu $000$ ).
Criteriul cu 3: un număr este divizibil cu $3$ dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu $3$ . Exemplu: $471$ : $4+7+1=12$ , iar $12$ se divide cu $3$ , deci $471$ se divide cu $3$ .
Criteriul cu 9: un număr este divizibil cu $9$ dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu $9$ . Exemplu: $6435$ : $6+4+3+5=18$ , iar $18$ se divide cu $9$ , deci $6435$ se divide cu $9$ .

Aceste criterii sunt foarte utile atunci când trebuie găsite cifre necunoscute astfel încât un număr să satisfacă o anumită condiție de divizibilitate, precum și în verificarea rapidă a rezultatelor unor calcule, fără a efectua împărțiri.

Formule

Definiția divizorului și a multiplului: $a\mid b \iff \exists\, c\in\mathbb{N} \text{ astfel încât } b=a\cdot c$
Criteriul divizibilității cu 2: $2\mid n \iff \text{ultima cifră a lui } n \in\{0,2,4,6,8\}$
Criteriul divizibilității cu 5: $5\mid n \iff \text{ultima cifră a lui } n \in\{0,5\}$
Criteriul divizibilității cu $10^n$ : $10^n \mid n \iff \text{ultimele } n \text{ cifre ale lui } n \text{ sunt toate } 0$
Criteriul divizibilității cu 3 și cu 9: $3\mid n \iff 3\mid S(n); \quad 9\mid n \iff 9\mid S(n), \text{ unde } S(n) \text{ este suma cifrelor lui } n$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Determinați mulțimea divizorilor comuni ai numerelor 30 și 45.

Scriem divizorii lui $30$ în perechi: $30=1\cdot 30=2\cdot 15=3\cdot 10=5\cdot 6$ , deci $D_{30}=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$ .

Scriem divizorii lui $45$ în perechi: $45=1\cdot 45=3\cdot 15=5\cdot 9$ , deci $D_{45}=\{1,3,5,9,15,45\}$ .

Divizorii comuni sunt elementele aflate în ambele mulțimi: $\{1,3,5,15\}$ .

Exemplul 2

Determinați cifra $x$ astfel încât numărul $\overline{47x}$ să fie divizibil cu 3.

Aplicăm criteriul de divizibilitate cu $3$ : suma cifrelor, $4+7+x=11+x$ , trebuie să fie divizibilă cu $3$ .

Testăm valorile posibile ale cifrei $x$ (de la $0$ la $9$ ): $11+x$ este divizibil cu $3$ pentru $x=1$ (sumă $12$ ), $x=4$ (sumă $15$ ) și $x=7$ (sumă $18$ ).

Răspuns: $x\in\{1,4,7\}$ , iar numerele obținute sunt $471$ , $474$ și $477$ .

Exemplul 3

Scrieți primii trei multipli comuni nenuli ai numerelor 6 și 8.

Scriem primii multipli ai lui $6$ : $M_6=\{0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,\dots\}$ .

Scriem primii multipli ai lui $8$ : $M_8=\{0,8,16,24,32,40,48,56,\dots\}$ .

Comparăm cele două șiruri și găsim elementele comune nenule, în ordine crescătoare: $24$ , $48$ , $72$ .

Greșeli frecvente

Confuzia dintre divizor și multiplu: se afirmă greșit „12 este divizor al lui 4”, în loc de „12 este multiplu al lui 4, iar 4 este divizor al lui 12” — trebuie identificat mereu care este numărul „mare” (multiplul) și care este numărul „mic” (divizorul).
La criteriul de divizibilitate cu $10^n$, se verifică doar ultima cifră (ca la $10$), fără a număra corect câte cifre finale trebuie să fie $0$; de exemplu, $4500$ se divide cu $10^2=100$, dar nu se divide cu $10^3=1000$, deoarece doar ultimele două cifre sunt $0$.
La criteriile cu 3 și cu 9, se calculează greșit suma cifrelor (se omite o cifră sau se adună incorect), ceea ce duce la o concluzie falsă despre divizibilitate; suma trebuie recalculată cu atenție, cifră cu cifră.
Se confundă criteriul cu 3 cu cel cu 9: dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu $3$, numărul nu este neapărat divizibil cu $9$; de exemplu, $123$: $1+2+3=6$, divizibil cu $3$, dar $6$ nu este divizibil cu $9$, deci $123$ nu se divide cu $9$.
Se crede greșit că $0$ nu este multiplu al niciunui număr; de fapt $0$ este multiplu al oricărui număr natural, dar nu este divizor al niciunui număr diferit de $0$.

Pe scurt

$a\mid b$ înseamnă că există $c\in\mathbb{N}$ cu $b=a\cdot c$ ; $a$ este divizor al lui $b$ , iar $b$ este multiplu al lui $a$ .
Orice număr nenul are cel puțin divizorii $1$ și el însuși; $1$ divide orice număr; $0$ este multiplu al oricărui număr, dar nu este divizor al niciunui număr nenul.
Divizorii comuni a două numere = intersecția mulțimilor lor de divizori; multiplii comuni = intersecția mulțimilor lor de multipli.
Criteriul cu $2$ : ultima cifră pară; criteriul cu $5$ : ultima cifră $0$ sau $5$ ; criteriul cu $10^n$ : ultimele $n$ cifre sunt $0$ .
Criteriul cu $3$ : suma cifrelor divizibilă cu $3$ ; criteriul cu $9$ : suma cifrelor divizibilă cu $9$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.