Numere prime și compuse; descompunerea; c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Un număr natural mai mare decât $1$ se numește număr prim dacă are exact doi divizori naturali: $1$ și el însuși. De exemplu, $2,3,5,7,11,13,17,19,23$ sunt numere prime. Numărul $2$ este singurul număr prim par; toate celelalte numere prime sunt impare (dar nu orice număr impar este prim: $9,15,21,25$ sunt impare și, în același timp, compuse). Un număr natural mai mare decât $1$ care are mai mult de doi divizori se numește număr compus (de exemplu $4,6,8,9,10$ ). Numărul $1$ are un singur divizor (pe el însuși), deci nu este nici prim, nici compus.

O metodă clasică de identificare a numerelor prime dintr-un interval este ciurul lui Eratostene: se scriu toate numerele de la $2$ până la o limită dată, apoi se elimină succesiv multiplii fiecărui număr prim găsit (întâi multiplii lui $2$ , apoi ai lui $3$ , ai lui $5$ ș.a.m.d.); numerele rămase neeliminate sunt numere prime.

Orice număr natural mai mare decât $1$ se poate scrie, în mod unic (până la ordinea factorilor), ca produs de puteri de numere prime — aceasta se numește descompunere canonică (în factori primi): $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ , unde $p_1,p_2,\ldots,p_k$ sunt numere prime distincte, iar $a_1,\ldots,a_k$ sunt numere naturale nenule. De exemplu, $360=2^3\cdot3^2\cdot5$ . Pentru descompunere folosim criteriile de divizibilitate (cu $2,5,3,9$ ) învățate anterior.

Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) a două numere naturale se poate afla în două moduri:

Prin descompunere în factori primi: se descompun numerele, apoi c.m.m.d.c. este produsul factorilor primi comuni, luați la puterea cea mai mică.
Prin algoritmul lui Euclid: se împarte numărul mai mare la cel mai mic, apoi împărțitorul se împarte la restul obținut, și tot așa, succesiv, până se obține restul $0$ ; c.m.m.d.c. este ultimul rest nenul.

Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) a două numere se calculează prin descompunere în factori primi, ca fiind produsul factorilor primi comuni și necomuni, luați la puterea cea mai mare.

Între c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două numere $a$ și $b$ există relația fundamentală: $cmmdc(a,b)\cdot cmmmc(a,b)=a\cdot b$ Această relație este utilă atât pentru verificarea calculelor, cât și pentru aflarea rapidă a unuia dintre cei doi termeni, cunoscând produsul $a\cdot b$ și celălalt termen.

Două numere naturale $a$ și $b$ se numesc prime între ele dacă $cmmdc(a,b)=1$ , adică nu au niciun factor prim comun. De exemplu, $35$ și $48$ sunt prime între ele ( $35=5\cdot7$ , $48=2^4\cdot3$ — nu au factori primi comuni), deși niciunul dintre ele nu este, individual, un număr prim.

Formule

Descompunerea canonică: $n = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$
c.m.m.d.c. prin descompunere: $cmmdc(a,b) = \text{produsul factorilor primi comuni, la puterea cea mai mică}$
c.m.m.m.c. prin descompunere: $cmmmc(a,b) = \text{produsul factorilor primi comuni și necomuni, la puterea cea mai mare}$
Relația fundamentală: $cmmdc(a,b)\cdot cmmmc(a,b) = a\cdot b$
Numere prime între ele: $a,b \text{ prime între ele} \iff cmmdc(a,b) = 1$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Descompuneți în factori primi numerele $360$ și $504$ , apoi calculați $cmmdc(360,504)$ și $cmmmc(360,504)$ .

Descompunem fiecare număr, folosind criteriile de divizibilitate:

$360=2^3\cdot3^2\cdot5$ (deoarece $360:2=180$ , $180:2=90$ , $90:2=45$ , $45:3=15$ , $15:3=5$ , $5:5=1$ ).

$504=2^3\cdot3^2\cdot7$ (deoarece $504:2=252$ , $252:2=126$ , $126:2=63$ , $63:3=21$ , $21:3=7$ , $7:7=1$ ).

Factorii primi comuni sunt $2$ și $3$ . Luăm puterea cea mai mică pentru fiecare: $\min(3,3)=3$ la $2$ și $\min(2,2)=2$ la $3$ .

$cmmdc(360,504)=2^3\cdot3^2=8\cdot9=72$ .

Pentru $cmmmc$ luăm toți factorii (comuni și necomuni) la puterea cea mai mare: $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7$ .

$cmmmc(360,504)=8\cdot9\cdot5\cdot7=72\cdot35=2520$ .

Verificare: $cmmdc\cdot cmmmc=72\cdot2520=181440$ , iar $360\cdot504=181440$ . ✓

Exemplul 2

Aflați $cmmdc(504,360)$ folosind algoritmul lui Euclid și comparați rezultatul cu cel obținut prin descompunere.

Împărțim succesiv, numărul mai mare la cel mai mic, apoi împărțitorul la restul obținut:

$504=1\cdot360+144$

$360=2\cdot144+72$

$144=2\cdot72+0$

Ultimul rest nenul este $72$ , deci $cmmdc(504,360)=72$ .

Rezultatul coincide cu cel obținut prin descompunere în factori primi la exemplul anterior ( $72$ ). ✓

Exemplul 3

Arătați că numerele $35$ și $48$ sunt prime între ele, apoi calculați $cmmmc(35,48)$ .

Descompunem: $35=5\cdot7$ și $48=2^4\cdot3$ .

Cele două descompuneri nu au niciun factor prim comun, deci $cmmdc(35,48)=1$ . Prin urmare $35$ și $48$ sunt prime între ele.

Deoarece $cmmdc(35,48)=1$ , din relația $cmmdc\cdot cmmmc=a\cdot b$ obținem $cmmmc(35,48)=\dfrac{35\cdot48}{1}=1680$ .

(Se poate verifica și direct prin descompunere: $cmmmc(35,48)=2^4\cdot3\cdot5\cdot7=16\cdot3\cdot5\cdot7=1680$ .) ✓

Greșeli frecvente

Confuzia dintre „număr prim” și „număr impar”: unele numere impare, precum $9,15,21,25$, nu sunt prime (au mai mult de doi divizori); în plus, $2$ este număr prim, deși este par — forma corectă: paritatea nu decide dacă un număr este prim.
La calculul lui $cmmdc$ prin descompunere, se iau greșit factorii comuni la puterea cea mai mare (confuzie cu $cmmmc$); regula corectă: $cmmdc$ ia factorii comuni la puterea cea mai mică, iar $cmmmc$ ia toți factorii (comuni și necomuni) la puterea cea mai mare.
La calculul lui $cmmmc$ prin descompunere, se omit factorii necomuni (care apar doar într-unul dintre numere); forma corectă: acei factori se includ în produsul final, la puterea cu care apar în numărul respectiv.
Se consideră greșit că $1$ este număr prim; corect, $1$ are un singur divizor (pe el însuși), deci nu îndeplinește definiția (doi divizori distincți) și nu este nici prim, nici compus.
La algoritmul lui Euclid, se oprește șirul de împărțiri prea devreme sau se confundă deîmpărțitul cu împărțitorul; forma corectă: se continuă până se obține restul $0$, iar $cmmdc$ este ultimul rest nenul (nu ultimul cât).

Pe scurt

Număr prim = exact doi divizori ( $1$ și el însuși); număr compus = mai mult de doi divizori; $1$ nu este nici prim, nici compus.
Orice număr natural mai mare decât $1$ are o descompunere canonică unică în produs de puteri de numere prime.
$cmmdc(a,b)$ = produsul factorilor primi comuni, la puterea cea mai mică — sau, echivalent, ultimul rest nenul din algoritmul lui Euclid.
$cmmmc(a,b)$ = produsul factorilor primi comuni și necomuni, la puterea cea mai mare.
$cmmdc(a,b)\cdot cmmmc(a,b)=a\cdot b$ — relație folosită pentru verificare sau pentru aflarea rapidă a unuia dintre termeni.
Dacă $cmmdc(a,b)=1$ , numerele $a$ și $b$ sunt prime între ele.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.