Evaluarea Națională

Mulțimea numerelor întregi: opus, modul, comparare, operații

Mulțimea numerelor întregi este Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} și se obține prin reuniunea numerelor naturale cu opusele lor. Pe axa numerelor, întregii pozitivi se așază la dreapta lui 0, iar cei negativi la stânga, la aceeași distanță de 0 ca opusul lor pozitiv.

Opusul unui număr întreg aa este numărul −a-a, adică numărul așezat simetric față de 0 pe axă. Suma unui număr cu opusul său este întotdeauna 0: a+(−a)=0a + (-a) = 0. Opusul lui 5 este −5-5, opusul lui −7-7 este 77, iar opusul lui 0 este 0.

Modulul (valoarea absolută) unui număr întreg aa, notat ∣a∣|a|, reprezintă distanța de la punctul care reprezintă aa până la 0 pe axă. Modulul este întotdeauna un număr natural (deci ≥0\ge 0): ∣a∣=a|a| = a dacă a≥0a \ge 0 și ∣a∣=−a|a| = -a dacă a<0a < 0. Astfel ∣5∣=5|5| = 5, ∣−5∣=5|-5| = 5, ∣0∣=0|0| = 0. Două numere opuse au același modul.

Compararea numerelor întregi se face astfel: orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ; 0 este mai mare decât orice număr negativ și mai mic decât orice număr pozitiv; dintre două numere negative, este mai mare cel cu modulul mai mic (adică cel mai apropiat de 0). De exemplu −3>−8-3 > -8, pentru că pe axă −3-3 este mai la dreapta.

Adunarea numerelor întregi: dacă cele două numere au același semn, se adună modulele și se păstrează semnul comun (ex: (−4)+(−7)=−11(-4)+(-7)=-11). Dacă au semne diferite, se scade din modulul mai mare modulul mai mic, iar rezultatul păstrează semnul numărului cu modulul mai mare (ex: (−9)+4=−5(-9)+4 = -5, pentru că ∣−9∣>∣4∣|-9|>|4|).

Scăderea se transformă întotdeauna în adunarea opusului: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b). De exemplu 5−(−3)=5+3=85 - (-3) = 5 + 3 = 8.

Înmulțirea și împărțirea: dacă cele două numere au același semn, rezultatul este pozitiv; dacă au semne diferite, rezultatul este negativ (regula semnelor). Împărțirea a două numere întregi se efectuează atunci când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului. Exemple: (−6)⋅(−4)=24(-6)\cdot(-4)=24; (−6)⋅4=−24(-6)\cdot 4 = -24; (−36):(−9)=4(-36):(-9) = 4; 36:(−9)=−436:(-9)=-4.

În calcule cu mai mulți termeni și paranteze, se respectă ordinea operațiilor: mai întâi parantezele (rotunde, apoi pătrate, apoi acolade), apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile (în ordinea în care apar), apoi adunările și scăderile.

Formule

  • Opusul unui număr întreg: a+(−a)=0a + (-a) = 0

  • Definiția modulului: ∣a∣=a daca˘ a≥0,∣a∣=−a daca˘ a<0|a| = a \text{ dacă } a \ge 0, \quad |a| = -a \text{ dacă } a < 0

  • Scăderea ca adunare a opusului: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)

  • Regula semnelor la înmulțire/împărțire: (+)⋅(+)=+, (−)⋅(−)=+, (+)⋅(−)=−, (−)⋅(+)=−(+)\cdot(+) = +, \ (-)\cdot(-) = +, \ (+)\cdot(-) = -, \ (-)\cdot(+) = -

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Calculați: −12+7−(−5)−9+(−3)-12 + 7 - (-5) - 9 + (-3).

Transformăm toate scăderile în adunări de opuse: −12+7+5−9−3-12 + 7 + 5 - 9 - 3.

Adunăm în ordine: −12+7=−5-12+7=-5; apoi −5+5=0-5+5=0; apoi 0−9=−90-9=-9; apoi −9−3=−12-9-3=-12.

Rezultat: −12-12.

Exemplul 2

Ordonați crescător numerele: −5, ∣−3∣, −∣−7∣, 0, 4, −1-5,\ |-3|,\ -|-7|,\ 0,\ 4,\ -1.

Calculăm mai întâi valoarea fiecărui termen: −5=−5-5=-5; ∣−3∣=3|-3|=3; −∣−7∣=−7-|-7|=-7; 0=00=0; 4=44=4; −1=−1-1=-1.

Ordonăm crescător valorile: −7<−5<−1<0<3<4-7 < -5 < -1 < 0 < 3 < 4.

Deci ordinea crescătoare a numerelor date este: −∣−7∣, −5, −1, 0, ∣−3∣, 4-|-7|,\ -5,\ -1,\ 0,\ |-3|,\ 4.

Greșeli frecvente

  • Confuzia între opus și modul: opusul lui $-5$ este $5$ (se schimbă semnul), iar modulul lui $-5$ este tot $5$ (distanța la 0, întotdeauna $\ge 0$) — pentru numere pozitive, opusul este negativ, dar modulul rămâne pozitiv.
  • La adunarea a două numere cu semne diferite, se adună greșit modulele în loc să se scadă (ex: se calculează $-9+4$ ca $-(9+4)=-13$ în loc de $-(9-4)=-5$).
  • La scădere, se uită schimbarea semnului scăzătorului: $a-b$ nu este $a+b$, ci $a+(-b)$.
  • La compararea a două numere negative, se crede greșit că numărul cu modulul mai mare este mai mare (ex: se afirmă $-8 > -3$, deoarece $8>3$, ignorând semnul).

Pe scurt

  • Z={...,−2,−1,0,1,2,...}\mathbb{Z}=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}; opusul lui aa este −a-a, iar a+(−a)=0a+(-a)=0.
  • ∣a∣≥0|a|\ge 0 întotdeauna; ∣a∣=a|a|=a dacă a≥0a\ge0 și ∣a∣=−a|a|=-a dacă a<0a<0.
  • Orice pozitiv > 0 > orice negativ; între doi negativi, e mai mare cel cu modulul mai mic.
  • a−b=a+(−b)a-b=a+(-b).
  • La înmulțire/împărțire: semne identice → rezultat pozitiv; semne diferite → rezultat negativ.
  • Ordinea operațiilor: paranteze, puteri, înmulțiri/împărțiri, adunări/scăderi.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.