Evaluarea Națională

Fracții zecimale; transformări; periodicitate; fracția periodică → ordinară

Orice fracție ordinară se poate scrie sub formă de fracție zecimală, efectuând împărțirea numărătorului la numitor. După rezultatul acestei împărțiri, deosebim: fracții zecimale finite (împărțirea se termină, cu rest 0 după un număr finit de pași) și fracții zecimale periodice (infinite — o secvență de cifre, numită perioadă, se repetă la infinit).

O fracție ireductibilă ab\frac{a}{b} se transformă într-o fracție zecimală finită dacă și numai dacă numitorul bb are ca singuri factori primi pe 22 și/sau 55 (de exemplu 740\frac{7}{40}, unde 40=23⋅540=2^3\cdot 5, dă 0,1750{,}175). Dacă numitorul are și alt factor prim (de exemplu 3,7,11,...3, 7, 11,...), fracția dă o zecimală periodică (de exemplu 56\frac{5}{6}, unde 6=2⋅36=2\cdot 3, dă 0,8(3)0{,}8(3)).

O fracție zecimală periodică este simplă dacă perioada începe imediat după virgulă (ex: 0,(3)0{,}(3)) și mixtă dacă există una sau mai multe cifre neperiodice între virgulă și începutul perioadei (ex: 0,58(3)0{,}58(3), unde "58" sunt cifrele neperiodice, iar "3" este perioada).

Transformarea fracției zecimale periodice în fracție ordinară:

  • Periodică simplă: 0,(ab)=ab990{,}(ab)=\dfrac{ab}{99} (numărul format din cifrele perioadei, împărțit la un număr format din atâtea cifre de 99 câte cifre are perioada). De exemplu 0,(27)=2799=3110{,}(27)=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}.
  • Periodică mixtă: 0,a(b)=ab−a900{,}a(b)=\dfrac{ab-a}{90} (numărul format din toate cifrele de după virgulă până la sfârșitul primei perioade, minus numărul format din cifrele neperiodice, împărțit la atâtea cifre de 99 câte are perioada, urmate de atâtea cifre de 00 câte cifre neperiodice sunt). De exemplu 0,1(6)=16−190=1590=160{,}1(6)=\dfrac{16-1}{90}=\dfrac{15}{90}=\dfrac{1}{6}. Aceeași regulă se extinde la perioade și părți neperiodice cu mai multe cifre (ex: numitorul devine 990990 pentru o perioadă de 22 cifre și o cifră neperiodică).

La un număr cu parte întreagă nenulă, se transformă separat partea zecimală, apoi se adaugă partea întreagă: 2,1(45)=2+145−1990=2+144990=2+855=118552{,}1(45)=2+\dfrac{145-1}{990}=2+\dfrac{144}{990}=2+\dfrac{8}{55}=\dfrac{118}{55}.

Aceste transformări arată că orice fracție zecimală finită sau periodică reprezintă un număr rațional (se poate scrie ca fracție ordinară ab\frac{a}{b}, cu a∈Za\in\mathbb{Z}, b∈N∗b\in\mathbb{N}^*), spre deosebire de fracțiile zecimale infinite neperiodice, care reprezintă numere iraționale.

Formule

  • Zecimală periodică simplă → fracție: 0,(ab)=ab990{,}(ab) = \frac{ab}{99}

  • Zecimală periodică mixtă → fracție: 0,a(b)=ab−a900{,}a(b) = \frac{ab-a}{90}

  • Condiția de fracție zecimală finită: ab ireductibila˘ da˘ zecimala˘ finita˘⇔b=2m⋅5n\frac{a}{b}\ \text{ireductibilă dă zecimală finită} \Leftrightarrow b = 2^m\cdot 5^n

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Precizați dacă fracția 712\frac{7}{12} se transformă într-o fracție zecimală finită sau periodică, apoi scrieți-o ca fracție zecimală.

Numitorul 12=22⋅312=2^2\cdot 3 conține și factorul prim 33 (nu doar 22 și 55), deci fracția se transformă într-o fracție zecimală periodică.

Efectuăm împărțirea: 7:12=0,58333...=0,58(3)7:12=0{,}58333... = 0{,}58(3).

Exemplul 2

Transformați numărul 2,1(45)2{,}1(45) în fracție ordinară ireductibilă.

Separăm partea întreagă (22) de partea zecimală (0,1(45)0{,}1(45)), care are cifra neperiodică 11 și perioada 4545 (două cifre).

Aplicăm regula generală (numitor 990990 = doi de 99 pentru perioadă, un 00 pentru cifra neperiodică): 0,1(45)=145−1990=1449900{,}1(45)=\dfrac{145-1}{990}=\dfrac{144}{990}.

Simplificăm cu 1818: 144990=855\dfrac{144}{990}=\dfrac{8}{55}.

Adăugăm partea întreagă: 2,1(45)=2+855=110+855=118552{,}1(45)=2+\dfrac{8}{55}=\dfrac{110+8}{55}=\dfrac{118}{55}.

Greșeli frecvente

  • Se crede că orice fracție cu numitor care nu e $10$, $100$, $1000$ etc. este automat periodică, fără a verifica dacă numitorul (după simplificare) are alți factori primi în afară de $2$ și $5$.
  • La transformarea fracției periodice mixte, se pun toate cifrele de după virgulă la numărător fără a scădea partea neperiodică (ex: se scrie greșit $0{,}1(6)=\frac{16}{90}$ în loc de $\frac{16-1}{90}$).
  • Se confundă numărul de cifre de $9$ (dat de lungimea perioadei) cu numărul de cifre de $0$ (dat de lungimea părții neperiodice) la construirea numitorului.
  • Se uită adăugarea părții întregi după transformarea părții zecimale, la numere mai mari ca $1$.

Pe scurt

  • Fracție zecimală finită ⟺ numitorul (fracției ireductibile) are doar factorii primi 22 și/sau 55.
  • Altfel, fracția zecimală este periodică (simplă sau mixtă).
  • 0,(ab)=ab990{,}(ab)=\frac{ab}{99}; 0,a(b)=ab−a900{,}a(b)=\frac{ab-a}{90} (se generalizează cu atâtea 99-uri câte cifre are perioada și atâtea 00-uri câte cifre neperiodice sunt).
  • Orice fracție zecimală finită sau periodică este un număr rațional.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.