Punct, dreaptă, semidreaptă, segment; coliniaritate; mijlocul segmentului; simetricul unui punct

Punctul, dreapta și planul sunt noțiuni primare (nu se definesc, ci se descriu). Punctul se notează cu literă mare: $A$ , $B$ , $M$ . Dreapta se notează cu o literă mică ( $d$ , $a$ ) sau prin două puncte ale ei: dreapta $AB$ . Segmentul $[AB]$ este porțiunea de dreaptă cuprinsă între punctele $A$ și $B$ (capetele segmentului); lungimea lui se notează $AB$ . Semidreapta $[AB$ pornește din originea $A$ și trece prin $B$ .

Poziții relative. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă (axioma dreptei). Două drepte din plan pot fi: concurente (au un singur punct comun), paralele (nu au niciun punct comun) sau confundate.

Puncte coliniare. Trei sau mai multe puncte sunt coliniare dacă aparțin aceleiași drepte. Punctul $B$ se află între $A$ și $C$ (cu $A$ , $B$ , $C$ coliniare) dacă și numai dacă $AB + BC = AC.$ Aceasta este relația-cheie: dacă $AB+BC=AC$ , atunci $B \in [AC]$ ; dacă $AB+BC>AC$ , punctele nu sunt coliniare (sau $B$ nu e între ele).

Segmente congruente. Două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime: $[AB]\equiv[CD]\iff AB=CD$ .

Mijlocul segmentului. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$ dacă $M\in[AB]$ și $MA=MB$ . Atunci $MA = MB = \frac{AB}{2}.$ Mijlocul este unic. Pe axa numerelor, dacă $A$ are coordonata $x_A$ și $B$ are coordonata $x_B$ , mijlocul are coordonata $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ .

Simetricul unui punct față de un punct. Simetricul lui $A$ față de $O$ este punctul $A'$ pentru care $O$ este mijlocul segmentului $[AA']$ . Deci $O\in[AA']$ și $OA=OA'$ ; rezultă $AA'=2\cdot OA$ . Punctul este propriul său simetric față de el însuși, iar simetricul mijlocului $[AB]$ față de un capăt se calculează folosind relații de lungimi.

Măsurare și unități. Lungimile se exprimă în unități de măsură (mm, cm, m, km); $1\text{ m}=100\text{ cm}=1000\text{ mm}$ . La probleme cu segmente pe o dreaptă se lucrează cu relația „suma părților = întregul" și cu împărțiri în raporturi date.

Aceste noțiuni stau la baza întregii geometrii: recunoașterea coliniarității, calculul lungimilor prin adunare/scădere de segmente și localizarea mijlocului sunt folosite constant în problemele de la Subiectul II și III.

Formule

Coliniaritate (B între A și C): $AB + BC = AC$
Mijlocul segmentului: $MA = MB = \frac{AB}{2}$
Coordonata mijlocului pe axă: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
Simetricul față de un punct: $AA' = 2\cdot OA,\quad OA = OA'$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB = 5$ cm și $BC = 3$ cm. Aflați lungimea segmentului $[AC]$ și lungimea segmentului determinat de mijloacele lui $[AB]$ și $[BC]$ .

Deoarece $B$ este între $A$ și $C$ , avem $AC = AB + BC = 5 + 3 = 8$ cm.

Fie $M$ mijlocul lui $[AB]$ și $N$ mijlocul lui $[BC]$ . Atunci $MB = \dfrac{AB}{2} = 2{,}5$ cm și $BN = \dfrac{BC}{2} = 1{,}5$ cm.

Cum $M$ și $N$ sunt de o parte și de alta a lui $B$ , iar $M$ , $B$ , $N$ sunt coliniare, obținem $MN = MB + BN = 2{,}5 + 1{,}5 = 4 \text{ cm}.$ (Observație: $MN = \dfrac{AB+BC}{2} = \dfrac{AC}{2}$ , mereu jumătate din $AC$ .)

Exemplul 2

Pe o dreaptă se consideră punctul $O$ și punctul $A$ cu $OA = 6$ cm. Fie $A'$ simetricul lui $A$ față de $O$ și $B$ mijlocul segmentului $[OA]$ . Aflați $A'B$ .

$A'$ simetricul lui $A$ față de $O$ înseamnă $O$ mijlocul lui $[AA']$ , deci $OA' = OA = 6$ cm, iar $A$ și $A'$ sunt de o parte și de alta a lui $O$ .

$B$ mijlocul lui $[OA]$ dă $OB = \dfrac{OA}{2} = 3$ cm, cu $B$ de aceeași parte cu $A$ .

$B$ și $A'$ sunt de o parte și de alta a lui $O$ , deci $A'B = A'O + OB = 6 + 3 = 9 \text{ cm}.$

Greșeli frecvente

Aplicarea relației $AB+BC=AC$ fără a verifica ordinea punctelor: dacă $B$ nu este între $A$ și $C$, relația nu mai este validă (poate fi $AC+CB=AB$).
Confundarea segmentului $[AB]$ (mulțime de puncte) cu lungimea sa $AB$ (număr). Notațiile sunt diferite.
La simetricul față de un punct se uită că $O$ trebuie să fie mijloc: se pune $OA'=2\cdot OA$ în loc de $OA'=OA$.
La calculul unui segment dintre două mijloace se adună greșit când mijloacele sunt de aceeași parte a unui punct (trebuie scădere), respectiv de o parte și de alta (adunare).

Pe scurt

Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
$A$ , $B$ , $C$ coliniare cu $B$ între ele $\iff AB+BC=AC$ .
Mijlocul: $MA=MB=\dfrac{AB}{2}$ ; pe axă $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ .
Simetricul lui $A$ față de $O$ : $O$ e mijlocul lui $[AA']$ , deci $OA=OA'$ și $AA'=2\,OA$ .
Segmente congruente $\iff$ lungimi egale.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.