Evaluarea Națională

Unghiul: măsură, clasificare, congruență; calcule cu grade și minute; unghiuri opuse la vârf, suplementare, complementare, adiacente; bisectoarea

Unghiul este figura formată de două semidrepte cu aceeași origine (vârful unghiului). Semidreptele sunt laturile. Se notează ∠AOB\angle AOB sau AOB^\widehat{AOB}, unde OO este vârful. Măsura se exprimă în grade sexagesimale: 1∘=60′1^\circ = 60' (minute), 1′=60′′1' = 60'' (secunde).

Clasificarea după măsură. Unghi nul (0∘0^\circ); ascuțit (0∘<x<90∘0^\circ<x<90^\circ); drept (90∘90^\circ); obtuz (90∘<x<180∘90^\circ<x<180^\circ); alungit/cu laturile în prelungire (180∘180^\circ). Două unghiuri sunt congruente dacă au aceeași măsură.

Calcule cu grade și minute. Adunarea și scăderea se fac pe „coloane": grade cu grade, minute cu minute, cu report la 60′=1∘60'=1^\circ. De exemplu 48∘37′+25∘40′=73∘77′=74∘17′48^\circ 37' + 25^\circ 40' = 73^\circ 77' = 74^\circ 17'. La scădere se împrumută 1∘=60′1^\circ = 60': 90∘−34∘25′=89∘60′−34∘25′=55∘35′90^\circ - 34^\circ 25' = 89^\circ 60' - 34^\circ 25' = 55^\circ 35'.

Perechi de unghiuri.

  • Complementare: suma măsurilor este 90∘90^\circ. Complementul lui xx este 90∘−x90^\circ - x.
  • Suplementare: suma măsurilor este 180∘180^\circ. Suplementul lui xx este 180∘−x180^\circ - x.
  • Adiacente: au același vârf, o latură comună și interioarele disjuncte (de o parte și de alta a laturii comune).
  • Opuse la vârf: laturile unuia sunt prelungirile laturilor celuilalt. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.

Când două drepte se intersectează, se formează două perechi de unghiuri opuse la vârf (congruente) și patru perechi de unghiuri adiacente suplementare.

Bisectoarea unghiului. Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârf care împarte unghiul în două unghiuri congruente. Dacă [OM[OM este bisectoarea lui ∠AOB\angle AOB, atunci m(∠AOM)=m(∠MOB)=m(∠AOB)2.m(\angle AOM) = m(\angle MOB) = \frac{m(\angle AOB)}{2}. Un punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului (proprietate folosită mai târziu la cercul înscris).

Unghiuri în jurul unui punct. Suma unghiurilor în jurul unui punct este 360∘360^\circ; suma unghiurilor de aceeași parte a unei drepte (pe un semiplan, cu vârful pe dreaptă) este 180∘180^\circ.

Aceste relații sunt esențiale la Subiectul II (itemul 2 este aproape mereu despre unghiuri) și apar constant în demonstrațiile de la Subiectul III (unghiuri la paralele, în triunghi etc.).

Formule

  • Transformări grade-minute: 1∘=60′,1′=60′′1^\circ = 60',\quad 1' = 60''

  • Complement: compl(x)=90∘−x\text{compl}(x) = 90^\circ - x

  • Suplement: supl(x)=180∘−x\text{supl}(x) = 180^\circ - x

  • Unghiuri opuse la vârf: ∠AOB≡∠A′OB′\angle AOB \equiv \angle A'OB'

  • Bisectoarea: m(∠AOM)=m(∠MOB)=m(∠AOB)2m(\angle AOM) = m(\angle MOB) = \frac{m(\angle AOB)}{2}

  • Unghiuri în jurul unui punct: ∑m(∠)=360∘\sum m(\angle) = 360^\circ

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Un unghi are măsura 54∘48′54^\circ 48'. Calculați măsura complementului și a suplementului său.

Complementul: 90∘−54∘48′90^\circ - 54^\circ 48'. Împrumutăm 1∘=60′1^\circ = 60': 90∘=89∘60′90^\circ = 89^\circ 60'. 89∘60′−54∘48′=35∘12′.89^\circ 60' - 54^\circ 48' = 35^\circ 12'. Suplementul: 180∘−54∘48′=179∘60′−54∘48′=125∘12′.180^\circ - 54^\circ 48' = 179^\circ 60' - 54^\circ 48' = 125^\circ 12'.

Exemplul 2

Semidreapta [OC[OC este bisectoarea unghiului ∠AOB\angle AOB. Știind că m(∠AOC)=3x+10∘m(\angle AOC) = 3x + 10^\circ și m(∠COB)=5x−20∘m(\angle COB) = 5x - 20^\circ, aflați măsura unghiului ∠AOB\angle AOB.

Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente, deci m(∠AOC)=m(∠COB)m(\angle AOC) = m(\angle COB): 3x+10∘=5x−20∘⇒30∘=2x⇒x=15∘.3x + 10^\circ = 5x - 20^\circ \Rightarrow 30^\circ = 2x \Rightarrow x = 15^\circ. Atunci m(∠AOC)=3⋅15∘+10∘=55∘m(\angle AOC) = 3\cdot 15^\circ + 10^\circ = 55^\circ, iar m(∠AOB)=2⋅m(∠AOC)=2⋅55∘=110∘.m(\angle AOB) = 2\cdot m(\angle AOC) = 2\cdot 55^\circ = 110^\circ.

Greșeli frecvente

  • La scăderea cu minute nu se face împrumutul corect: $90^\circ - 30^\circ 40'$ nu este $60^\circ 40'$, ci $89^\circ 60' - 30^\circ 40' = 59^\circ 20'$.
  • Confundarea complementului ($90^\circ - x$) cu suplementul ($180^\circ - x$).
  • Se presupune că unghiurile adiacente sunt automat suplementare — este adevărat doar dacă laturile necomune sunt în prelungire (formează un unghi alungit).
  • La report: $77'$ nu se scrie așa în rezultat final; $77' = 1^\circ 17'$, deci trebuie transformat.
  • Se confundă bisectoarea (împarte în unghiuri egale) cu mediatoarea (a unui segment).

Pe scurt

  • 1∘=60′1^\circ = 60', 1′=60′′1' = 60''; la scădere se împrumută 1∘=60′1^\circ = 60'.
  • Complement: 90∘−x90^\circ - x; suplement: 180∘−x180^\circ - x.
  • Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.
  • Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale: fiecare =m(∠)2= \dfrac{m(\angle)}{2}.
  • În jurul unui punct suma unghiurilor este 360∘360^\circ; pe o dreaptă, 180∘180^\circ.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.