Drepte paralele; axioma paralelelor; criterii de paralelism (unghiuri alterne interne/externe, corespondente)

Drepte paralele. Două drepte din același plan sunt paralele dacă nu au niciun punct comun. Se notează $a\parallel b$ . Prin convenție, o dreaptă este paralelă cu ea însăși.

Axioma paralelelor (a lui Euclid). Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată.

Consecințe utile:

Dacă $a\parallel b$ și $b\parallel c$ , atunci $a\parallel c$ (tranzitivitate).
Dacă $a\parallel b$ și o dreaptă $d$ o intersectează pe $a$ , atunci $d$ o intersectează și pe $b$ .
Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.

Unghiuri formate de două drepte cu o secantă. Fie dreptele $a$ și $b$ tăiate de secanta $t$ . Se formează 8 unghiuri, grupate în perechi:

Alterne interne: de o parte și de alta a secantei, între cele două drepte (ex. $\angle 3$ și $\angle 5$ ).
Alterne externe: de o parte și de alta a secantei, în exteriorul dreptelor.
Corespondente: de aceeași parte a secantei, unul interior și celălalt exterior, „în aceeași poziție" (ex. $\angle 1$ și $\angle 5$ ).
Interne de aceeași parte (conjugate interne): de aceeași parte a secantei, ambele între drepte — sunt suplementare când dreptele sunt paralele.

Criteriile de paralelism. Două drepte tăiate de o secantă sunt paralele dacă și numai dacă:

unghiurile alterne interne sunt congruente, sau
unghiurile alterne externe sunt congruente, sau
unghiurile corespondente sunt congruente, sau
unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (suma $180^\circ$ ).

Reciproc (proprietatea dreptelor paralele): dacă $a\parallel b$ , atunci perechile de mai sus au proprietățile respective. Practic: $a\parallel b \iff \text{alterne interne congruente} \iff \text{corespondente congruente}.$

Aceste criterii sunt „motorul" multor demonstrații: pentru a arăta că două drepte sunt paralele, căutăm o secantă și o pereche de unghiuri congruente; invers, din paralelism deducem congruențe de unghiuri (folosite la suma unghiurilor triunghiului, paralelograme, trapez etc.). La Subiectul II apar frecvent figuri cu două paralele tăiate de o secantă, unde trebuie citit corect tipul perechii de unghiuri.

Formule

Notația paralelismului: $a \parallel b$
Tranzitivitate: $a\parallel b,\ b\parallel c \Rightarrow a\parallel c$
Criteriul alterne interne: $\angle_{\text{alt.int.}} \equiv \angle_{\text{alt.int.}} \iff a\parallel b$
Criteriul corespondente: $\angle_{\text{coresp.}} \equiv \angle_{\text{coresp.}} \iff a\parallel b$
Interne de aceeași parte: $a\parallel b \iff \angle + \angle = 180^\circ$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, tăiate de secanta $t$ . Un unghi altern intern are măsura $63^\circ$ . Aflați măsurile celorlalte unghiuri interne formate.

Fie unghiul dat de $63^\circ$ unul dintre cele patru unghiuri interne. Perechea sa alternă internă este congruentă, deci celălalt unghi altern intern are tot $63^\circ$ .

Unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (dreptele fiind paralele): $180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$ . Deci cele patru unghiuri interne au măsurile $63^\circ$ , $63^\circ$ , $117^\circ$ , $117^\circ$ .

Verificare: unghiurile de aceeași parte $63^\circ + 117^\circ = 180^\circ$ . Corect.

Exemplul 2

În figură, $a\parallel b$ , iar secanta $t$ formează cu $a$ un unghi corespondent de $(2x+15)^\circ$ și cu $b$ un unghi corespondent de $(3x-10)^\circ$ . Aflați $x$ .

Deoarece $a\parallel b$ , unghiurile corespondente sunt congruente: $2x + 15 = 3x - 10 \Rightarrow 25 = x \Rightarrow x = 25.$ Verificare: $2\cdot 25 + 15 = 65^\circ$ și $3\cdot 25 - 10 = 65^\circ$ . Egale, deci corect.

Greșeli frecvente

Confundarea tipurilor de unghiuri: se declară drept corespondente unghiuri care sunt de fapt alterne interne. Trebuie identificată poziția față de secantă (aceeași parte / părți opuse) și față de drepte (interior/exterior).
Se aplică congruența unghiurilor alterne/corespondente fără a ști că dreptele sunt paralele — proprietatea se folosește doar când paralelismul e dat sau demonstrat.
Unghiurile interne de aceeași parte a secantei se tratează ca fiind congruente; în realitate sunt suplementare când dreptele sunt paralele.
Se uită că axioma paralelelor garantează unicitatea paralelei printr-un punct exterior.

Pe scurt

$a\parallel b$ : drepte fără punct comun; printr-un punct exterior — o singură paralelă.
Cu o secantă: alterne interne/externe și corespondente congruente $\iff$ paralelism.
Interne de aceeași parte a secantei: suplementare când $a\parallel b$ .
Tranzitivitate: $a\parallel b$ , $b\parallel c \Rightarrow a\parallel c$ .
Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.