Drepte perpendiculare; distanța de la un punct la o dreaptă; mediatoarea; simetria față de o dreaptă

Drepte perpendiculare. Două drepte sunt perpendiculare dacă la intersecție formează un unghi drept (și, automat, toate cele patru unghiuri sunt drepte). Se notează $a\perp b$ . Printr-un punct dat se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă dată.

Distanța de la un punct la o dreaptă. Fie $P$ un punct și $d$ o dreaptă. Piciorul perpendicularei din $P$ pe $d$ este punctul $Q\in d$ cu $PQ\perp d$ . Distanța de la $P$ la $d$ este lungimea segmentului $[PQ]$ (a perpendicularei), și este cea mai scurtă dintre distanțele de la $P$ la punctele dreptei. Orice altă distanță $PR$ (cu $R\in d$ , $R\neq Q$ ) este o oblică și $PR>PQ$ . Oblicele egale se depărtează egal de piciorul perpendicularei.

Mediatoarea unui segment. Mediatoarea segmentului $[AB]$ este dreapta perpendiculară pe $[AB]$ în mijlocul său. Proprietatea caracteristică: $M \text{ este pe mediatoarea lui } [AB] \iff MA = MB.$ Cu alte cuvinte, mediatoarea este locul geometric al punctelor egal depărtate de capetele segmentului. Din această proprietate rezultă concurența mediatoarelor unui triunghi (centrul cercului circumscris).

Simetria față de o dreaptă (simetria axială). Simetricul punctului $P$ față de dreapta $d$ este punctul $P'$ astfel încât $d$ este mediatoarea segmentului $[PP']$ . Deci $d\perp PP'$ și $d$ trece prin mijlocul lui $[PP']$ ; punctele de pe $d$ sunt propriile lor simetrice (puncte fixe). Simetria axială păstrează distanțele (este o izometrie): dacă $A\mapsto A'$ și $B\mapsto B'$ , atunci $AB=A'B'$ . O figură are axă de simetrie $d$ dacă simetricul fiecărui punct al figurii față de $d$ aparține tot figurii (ex.: mediatoarea unui segment este axă de simetrie a segmentului; bisectoarea unui unghi este axă de simetrie a unghiului).

Legături importante. Distanța dintre două drepte paralele este lungimea unei perpendiculare comune. Într-un triunghi isoscel, mediatoarea bazei, bisectoarea unghiului de la vârf, mediana și înălțimea din vârf coincid (axa de simetrie a triunghiului). Aceste proprietăți sunt folosite masiv la demonstrațiile de congruență și la calcule de distanțe.

Formule

Perpendicularitate: $a\perp b \Rightarrow m(\angle) = 90^\circ$
Distanța punct-dreaptă: $d(P, d) = PQ,\ \ PQ\perp d,\ Q\in d$
Perpendiculara este cea mai scurtă: $PQ \le PR,\ \forall R\in d$
Proprietatea mediatoarei: $M\in \text{mediatoarea}[AB] \iff MA = MB$
Simetria axială (izometrie): $A\mapsto A',\ B\mapsto B' \Rightarrow AB = A'B'$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Punctul $M$ se află pe mediatoarea segmentului $[AB]$ . Știind că $MA = 3x - 4$ și $MB = x + 10$ , aflați $MA$ .

Pe mediatoare, $MA = MB$ : $3x - 4 = x + 10 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7.$ Atunci $MA = 3\cdot 7 - 4 = 17$ . (Verificare: $MB = 7 + 10 = 17$ . Egale.)

Exemplul 2

Fie dreapta $d$ și un punct $P$ la distanța $4$ cm de $d$ . Pe $d$ se ia un punct $R$ cu $PR = 5$ cm. Aflați distanța de la piciorul perpendicularei $Q$ (din $P$ pe $d$ ) la $R$ .

$Q$ este piciorul perpendicularei, deci $PQ = 4$ cm (distanța) și $\angle PQR = 90^\circ$ . În triunghiul dreptunghic $PQR$ , cu ipotenuza $PR = 5$ : $QR = \sqrt{PR^2 - PQ^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}.$

Greșeli frecvente

Se ia drept distanță de la punct la dreaptă o oblică oarecare, nu perpendiculara. Distanța este mereu lungimea perpendicularei.
Se confundă mediatoarea (dreaptă perpendiculară pe segment prin mijloc) cu bisectoarea (semidreaptă care împarte un unghi).
La simetria față de o dreaptă se uită că $d$ trebuie să fie perpendiculară pe $[PP']$ ȘI să treacă prin mijlocul lui (nu doar una dintre condiții).
Se crede că un punct de pe mediatoare este egal depărtat de o dreaptă; de fapt este egal depărtat de capetele segmentului ($MA=MB$).

Pe scurt

$a\perp b$ : formează unghi drept; printr-un punct — o singură perpendiculară pe o dreaptă.
Distanța de la $P$ la $d$ = lungimea perpendicularei $PQ$ ; este cea mai scurtă.
Mediatoarea lui $[AB]$ : perpendiculara în mijloc; $M\in$ mediatoare $\iff MA=MB$ .
Simetricul lui $P$ față de $d$ : $d$ este mediatoarea lui $[PP']$ .
Simetria axială păstrează lungimile (izometrie).

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.