Evaluarea Națională

Triunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, teorema unghiului exterior, inegalități între elemente

Triunghiul este figura determinată de trei puncte necoliniare AA, BB, CC (vârfuri) și segmentele care le unesc (laturi). Elementele: trei laturi ([AB][AB], [BC][BC], [CA][CA]) și trei unghiuri (∠A\angle A, ∠B\angle B, ∠C\angle C). Perimetrul: P=AB+BC+CAP = AB + BC + CA.

Clasificare.

  • După laturi: scalen (toate laturile diferite), isoscel (două laturi congruente), echilateral (toate laturile congruente).
  • După unghiuri: ascuțitunghic (toate unghiurile ascuțite), dreptunghic (un unghi drept), obtuzunghic (un unghi obtuz).

Suma unghiurilor unui triunghi. În orice triunghi: m(∠A)+m(∠B)+m(∠C)=180∘.m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ. Consecințe: un triunghi are cel mult un unghi drept sau obtuz; unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare (suma 90∘90^\circ); un triunghi echilateral are toate unghiurile de 60∘60^\circ.

Unghiul exterior al unui triunghi este suplementul unui unghi interior (format de o latură cu prelungirea alteia). Teorema unghiului exterior: măsura unui unghi exterior este egală cu suma măsurilor celor două unghiuri interioare neadiacente lui: m(∠ext.A)=m(∠B)+m(∠C).m(\angle \text{ext.}_A) = m(\angle B) + m(\angle C). De aici rezultă că un unghi exterior este mai mare decât fiecare dintre unghiurile interioare neadiacente.

Inegalități între elemente.

  • Inegalitatea triunghiului: fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor (modulul): ∣b−c∣<a<b+c.|b - c| < a < b + c. Trei segmente pot forma un triunghi doar dacă cea mai lungă este mai scurtă decât suma celorlalte două.
  • Relația latură-unghi: într-un triunghi, la unghi mai mare se opune latură mai mare și reciproc: m(∠A)>m(∠B)  ⟺  a>b.m(\angle A) > m(\angle B) \iff a > b. Astfel, în orice triunghi, latura opusă celui mai mare unghi este cea mai lungă. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza (opusă unghiului drept) este cea mai lungă latură.

Aceste rezultate se folosesc constant: la determinarea unghiurilor lipsă, la verificarea existenței unui triunghi, la compararea laturilor și în demonstrațiile de la Subiectul III (de exemplu, „arătați că unghiul... este cel mai mare").

Formule

  • Perimetrul: P=AB+BC+CAP = AB + BC + CA

  • Suma unghiurilor: m(∠A)+m(∠B)+m(∠C)=180∘m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ

  • Teorema unghiului exterior: m(∠ext)=m(∠B)+m(∠C)m(\angle \text{ext}) = m(\angle B) + m(\angle C)

  • Inegalitatea triunghiului: ∣b−c∣<a<b+c|b - c| < a < b + c

  • Relația latură-unghi: a>b  ⟺  m(∠A)>m(∠B)a > b \iff m(\angle A) > m(\angle B)

  • Unghiurile ascuțite în dreptunghic: m(∠B)+m(∠C)=90∘m(\angle B) + m(\angle C) = 90^\circ

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Într-un triunghi ABCABC, m(∠A)=72∘m(\angle A) = 72^\circ și m(∠B)=53∘m(\angle B) = 53^\circ. Aflați m(∠C)m(\angle C) și măsura unghiului exterior din vârful CC.

Suma unghiurilor: m(∠C)=180∘−72∘−53∘=55∘m(\angle C) = 180^\circ - 72^\circ - 53^\circ = 55^\circ.

Unghiul exterior din CC este suplementul lui ∠C\angle C: 180∘−55∘=125∘180^\circ - 55^\circ = 125^\circ.

Verificare cu teorema unghiului exterior: m(∠extC)=m(∠A)+m(∠B)=72∘+53∘=125∘m(\angle \text{ext}_C) = m(\angle A) + m(\angle B) = 72^\circ + 53^\circ = 125^\circ. Corect.

Exemplul 2

Pot forma un triunghi segmentele de lungimi 44 cm, 99 cm și 66 cm? Dar 44 cm, 99 cm și 55 cm?

Aplicăm inegalitatea triunghiului (verificăm cea mai lungă latură vs. suma celorlalte două).

Cazul 4,9,64, 9, 6: cea mai lungă e 99; 4+6=10>94 + 6 = 10 > 9. Da, formează triunghi.

Cazul 4,9,54, 9, 5: cea mai lungă e 99; 4+5=94 + 5 = 9, nu este strict mai mare (9=99 = 9). Nu formează triunghi (punctele ar fi coliniare).

Greșeli frecvente

  • La inegalitatea triunghiului se folosește $\le$ în loc de $<$: dacă suma celor două laturi este egală cu a treia, punctele sunt coliniare și NU se formează triunghi.
  • Se aplică teorema unghiului exterior adunând toate unghiurile interioare, nu doar cele două neadiacente.
  • Se inversează relația latură-unghi: la unghi mai mare se opune latura mai mare (nu mai mică).
  • Se uită că suma unghiurilor este $180^\circ$ (nu $360^\circ$, care e pentru patrulater).
  • La triunghiul isoscel se confundă care sunt unghiurile congruente: unghiurile de la bază (opuse laturilor congruente) sunt egale.

Pe scurt

  • Suma unghiurilor: 180∘180^\circ; într-un dreptunghic, cele ascuțite sunt complementare.
  • Unghi exterior == suma celor două unghiuri interioare neadiacente.
  • Inegalitatea triunghiului: ∣b−c∣<a<b+c|b-c| < a < b+c (strict!).
  • La unghi mai mare se opune latură mai mare: a>b  ⟺  ∠A>∠Ba>b \iff \angle A > \angle B.
  • Perimetrul =AB+BC+CA= AB+BC+CA; echilateral: toate unghiurile 60∘60^\circ.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.