Liniile importante în triunghi: bisectoare, mediatoare, înălțimi, mediane

În orice triunghi există patru tipuri de linii importante, fiecare cu un punct de concurență propriu.

Bisectoarele. Bisectoarea unui unghi al triunghiului este semidreapta care împarte unghiul în două unghiuri congruente. Cele trei bisectoare interioare sunt concurente în punctul $I$ , numit centrul cercului înscris (incentrul). Acesta este egal depărtat de cele trei laturi, iar distanța comună este raza $r$ a cercului înscris (cercul tangent celor trei laturi în interior).

Mediatoarele. Mediatoarea unei laturi este perpendiculara pe latură în mijlocul ei. Cele trei mediatoare sunt concurente în punctul $O$ , numit centrul cercului circumscris (circumcentrul). $O$ este egal depărtat de cele trei vârfuri, iar distanța comună este raza $R$ a cercului circumscris (cercul care trece prin cele trei vârfuri): $OA = OB = OC = R$ .

Înălțimile. Înălțimea dintr-un vârf este perpendiculara din acel vârf pe latura opusă (sau pe prelungirea ei). Cele trei înălțimi sunt concurente în punctul $H$ , numit ortocentru.

Medianele. Mediana dintr-un vârf este segmentul care unește vârful cu mijlocul laturii opuse. Cele trei mediane sunt concurente în punctul $G$ , numit centrul de greutate (baricentru). $G$ împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ de la vârf, adică $AG = \frac{2}{3}\,AM, \qquad GM = \frac{1}{3}\,AM,$ unde $M$ este mijlocul laturii opuse lui $A$ . Deci $AG = 2\cdot GM$ .

Cazuri particulare importante.

În triunghiul isoscel, linia importantă din vârful unghiului dintre laturile egale (bisectoare, mediatoarea bazei, mediană, înălțime) coincid — este axa de simetrie.
În triunghiul echilateral, toate cele patru linii coincid pentru fiecare vârf, iar $I$ , $O$ , $H$ , $G$ sunt același punct (centrul triunghiului).
În triunghiul dreptunghic, ortocentrul este în vârful unghiului drept, iar circumcentrul este mijlocul ipotenuzei (deci $R = \dfrac{\text{ipotenuza}}{2}$ ).

Aceste puncte și proprietăți apar frecvent: raportul $2:1$ al centrului de greutate este un clasic al Subiectului III, iar cercul înscris/circumscris leagă triunghiul de capitolul despre cerc.

Formule

Incentrul (cerc înscris): $I:\ d(I, AB) = d(I, BC) = d(I, CA) = r$
Circumcentrul (cerc circumscris): $O:\ OA = OB = OC = R$
Centrul de greutate (raport): $AG = \frac{2}{3}\,AM,\quad GM = \frac{1}{3}\,AM$
Relația la mediană: $AG = 2\cdot GM$
Circumraza în triunghiul dreptunghic: $R = \frac{\text{ipotenuza}}{2}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Într-un triunghi $ABC$ , mediana $[AM]$ are lungimea $18$ cm. Centrul de greutate este $G$ . Aflați $AG$ și $GM$ .

$G$ împarte mediana în raportul $2:1$ de la vârf: $AG = \frac{2}{3}\,AM = \frac{2}{3}\cdot 18 = 12 \text{ cm}, \qquad GM = \frac{1}{3}\,AM = \frac{1}{3}\cdot 18 = 6 \text{ cm}.$ Verificare: $AG + GM = 12 + 6 = 18 = AM$ , și $AG = 2\cdot GM$ . Corect.

Exemplul 2

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ , cu $BC = 10$ cm. Aflați raza cercului circumscris și lungimea medianei din $A$ .

În triunghiul dreptunghic, circumcentrul $O$ este mijlocul ipotenuzei $[BC]$ , deci raza este $R = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}.$ Mediana din $A$ ajunge tot în mijlocul $M$ al ipotenuzei, iar $AM = OM = R$ (proprietatea medianei ipotenuzei): $AM = 5$ cm.

Greșeli frecvente

Se confundă raportul centrului de greutate: $AG = \dfrac{2}{3}AM$ (nu $\dfrac{1}{3}$); partea dinspre vârf este cea mare.
Se confundă mediana (spre mijlocul laturii) cu înălțimea (perpendiculară pe latură) — coincid doar în triunghiul isoscel/echilateral.
Se confundă cercul înscris (tangent laturilor, centrul = incentru) cu cel circumscris (prin vârfuri, centrul = circumcentru).
Se plasează greșit ortocentrul: în triunghiul dreptunghic el este chiar vârful unghiului drept, iar în cel obtuzunghic este în exteriorul triunghiului.
Se uită că circumcentrul unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei.

Pe scurt

Bisectoare $\to$ incentru $I$ (cerc înscris, rază $r$ , egal depărtat de laturi).
Mediatoare $\to$ circumcentru $O$ (cerc circumscris, $OA=OB=OC=R$ ).
Înălțimi $\to$ ortocentru $H$ .
Mediane $\to$ centru de greutate $G$ : $AG=\dfrac{2}{3}AM$ , $AG=2\cdot GM$ .
Dreptunghic: ortocentrul în vârful drept, circumcentrul la mijlocul ipotenuzei ( $R=$ ipotenuza $/2$ ).

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.