Congruența triunghiurilor: criteriile LUL, ULU, LLL; CC, IC, CU, IU; metoda triunghiurilor congruente

Două triunghiuri sunt congruente dacă au laturile și unghiurile respectiv congruente. Se notează $\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$ , respectând ordinea vârfurilor corespondente: $A\leftrightarrow A'$ , $B\leftrightarrow B'$ , $C\leftrightarrow C'$ . În triunghiuri congruente, la elemente corespondente se opun elemente corespondente (laturi și unghiuri).

Criteriile generale de congruență.

LUL (latură-unghi-latură): două laturi și unghiul dintre ele.
ULU (unghi-latură-unghi): două unghiuri și latura dintre ele. (Echivalent, dacă se cunosc două unghiuri, al treilea e determinat, deci și UUL / o latură + două unghiuri.)
LLL (latură-latură-latură): cele trei laturi.

Nu există criteriu „LLU" (latură-latură-unghi neinclus) general și nici „UUU" (unghiurile dau doar asemănare, nu congruență).

Criteriile pentru triunghiuri dreptunghice (unghiul drept e cunoscut):

CC (catetă-catetă): cele două catete congruente.
IC (ipotenuză-catetă): ipotenuza și o catetă.
CU (catetă-unghi ascuțit): o catetă și un unghi ascuțit.
IU (ipotenuză-unghi ascuțit): ipotenuza și un unghi ascuțit.

Metoda triunghiurilor congruente. Pentru a demonstra că două segmente sunt congruente sau că două unghiuri sunt congruente, se procedează astfel:

Se identifică (sau se construiesc) două triunghiuri care conțin acele elemente ca laturi/unghiuri corespondente.
Se demonstrează congruența triunghiurilor cu unul dintre criterii.
Din congruență, se deduce egalitatea elementelor căutate („elemente corespondente în triunghiuri congruente").

Această metodă este instrumentul principal de demonstrație în geometria de gimnaziu: apare la proprietățile triunghiului isoscel (unghiurile de la bază, mediana = înălțime), la proprietățile paralelogramului, ale mediatoarei și bisectoarei. La Subiectul III, multe subpuncte a) („arătați că $[XY]\equiv[ZT]$ ") se rezolvă exact prin metoda triunghiurilor congruente, cu redactare atentă a criteriului folosit și a elementelor egale.

Redactarea corectă a unei demonstrații de congruență. La examen, redactarea contează cât rezolvarea: se numesc explicit cele două triunghiuri comparate, se listează cele trei perechi de elemente congruente cu justificarea fiecăreia (ipoteză, latură comună, unghiuri opuse la vârf, unghiuri formate de paralele etc.), se numește criteriul folosit și abia apoi se scrie concluzia. O congruență enunțată fără criteriu sau cu elemente nejustificate pierde punctele de barem. De asemenea, latura comună a două triunghiuri este întotdeauna un element gratuit de congruență — merită căutată prima. Dacă un criteriu nu iese direct, se verifică dacă nu cumva se pot deduce mai întâi alte elemente (de exemplu, unghiuri egale din paralelism sau dintr-un triunghi isoscel), care completează apoi criteriul.

Formule

Notația congruenței: $\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$
Criteriul LUL: $AB=A'B',\ \angle B=\angle B',\ BC=B'C' \Rightarrow \triangle \equiv \triangle$
Criteriul ULU: $\angle B=\angle B',\ BC=B'C',\ \angle C=\angle C' \Rightarrow \triangle \equiv \triangle$
Criteriul LLL: $AB=A'B',\ BC=B'C',\ CA=C'A' \Rightarrow \triangle \equiv \triangle$
Criteriul IC (dreptunghice): $\text{ip} = \text{ip}',\ \text{cat} = \text{cat}' \Rightarrow \triangle \equiv \triangle$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB = AC$ , fie $M$ mijlocul bazei $[BC]$ . Arătați că $\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ și deduceți că $AM\perp BC$ .

Comparăm $\triangle ABM$ și $\triangle ACM$ :

$AB = AC$ (ipoteză, laturi congruente);
$BM = CM$ ( $M$ mijlocul lui $[BC]$ );
$AM = AM$ (latură comună).

Cu criteriul LLL: $\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ .

Din congruență, $\angle AMB \equiv \angle AMC$ . Dar $\angle AMB$ și $\angle AMC$ sunt adiacente suplementare ( $B$ , $M$ , $C$ coliniare), deci fiecare are $\dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ$ . Prin urmare $AM\perp BC$ .

Exemplul 2

În figură, $[OA\equiv[OB$ și $[OC$ este bisectoarea unghiului $\angle AOB$ , cu $C$ un punct pe ea. Arătați că $CA = CB$ .

Comparăm $\triangle OAC$ și $\triangle OBC$ :

$OA = OB$ (ipoteză);
$\angle AOC \equiv \angle BOC$ ( $[OC$ bisectoare);
$OC = OC$ (latură comună).

Cu criteriul LUL: $\triangle OAC \equiv \triangle OBC$ .

Din congruență, laturile corespondente $[CA]$ și $[CB]$ sunt congruente, deci $CA = CB$ .

Greșeli frecvente

Se folosește pseudocriteriul LLU (două laturi și un unghi care NU este cuprins între ele) — nu este criteriu valid de congruență în general.
Se scrie congruența fără a respecta ordinea vârfurilor corespondente; atunci deducerea elementelor egale devine greșită.
Se confundă congruența (aceleași dimensiuni) cu asemănarea (aceeași formă, dimensiuni proporționale). UUU dă doar asemănare.
La triunghiuri dreptunghice se uită că unghiul drept e deja o pereche congruentă, deci sunt suficiente încă două elemente potrivite (IC, CU, IU, CC).
Se afirmă egalitatea a două segmente doar din aspectul desenului, fără a demonstra congruența triunghiurilor care le conțin.

Pe scurt

Criterii generale: LUL, ULU, LLL (unghiul la LUL trebuie să fie între laturi).
Dreptunghice: CC, IC, CU, IU (unghiul drept e dat).
Nu există LLU sau UUU ca criterii de congruență.
Metoda triunghiurilor congruente: identifică 2 triunghiuri $\to$ aplică un criteriu $\to$ deduce egalitatea elementelor corespondente.
Ordinea vârfurilor în $\triangle ABC\equiv\triangle A'B'C'$ codează corespondența.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.