Proprietățile triunghiului isoscel, echilateral, dreptunghic

Triunghiul isoscel ( $AB = AC$ , baza $[BC]$ ).

Unghiurile de la bază sunt congruente: $\angle B \equiv \angle C$ . Reciproc: dacă un triunghi are două unghiuri congruente, este isoscel.
În vârful $A$ , bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea bazei coincid (axa de simetrie). Reciproc: dacă într-un triunghi două dintre aceste linii din același vârf coincid, triunghiul este isoscel.

Triunghiul echilateral ( $AB = BC = CA$ ).

Toate unghiurile au $60^\circ$ . Reciproc: un triunghi cu toate unghiurile congruente (sau cu două unghiuri de $60^\circ$ ) este echilateral.
Orice linie importantă dintr-un vârf coincide cu celelalte; centrele $I$ , $O$ , $G$ , $H$ coincid.
Un triunghi isoscel cu un unghi de $60^\circ$ este echilateral.

Triunghiul dreptunghic (unghi drept în $A$ ; ipotenuza $[BC]$ , catetele $[AB]$ , $[AC]$ ).

Unghiurile ascuțite sunt complementare: $m(\angle B) + m(\angle C) = 90^\circ$ .
Teorema catetei opuse unghiului de $30^\circ$ : cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză: $m(\angle C) = 30^\circ \Rightarrow AB = \frac{BC}{2}.$ Reciproca: dacă o catetă este jumătate din ipotenuză, unghiul opus ei are $30^\circ$ .
Teorema medianei din vârful drept: mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză: $AM = \frac{BC}{2},\quad M \text{ mijlocul lui } [BC].$ Reciproca: dacă într-un triunghi mediana dintr-un vârf este jumătate din latura opusă, triunghiul este dreptunghic în acel vârf.

Aceste două teoreme (cu reciprocele lor) sunt printre cele mai testate rezultate la examen. Exemplu tipic: într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^\circ$ și ipotenuza de $12$ cm, cateta opusă unghiului de $30^\circ$ are $6$ cm; combinând cu Pitagora se obține și cealaltă catetă, $6\sqrt{3}$ cm.

Cum recunoaștem configurațiile. Dacă apare un unghi de $30^\circ$ sau $60^\circ$ într-un dreptunghic — folosim teorema unghiului de $30^\circ$ . Dacă apare mijlocul ipotenuzei — mediana. Dacă mediana e jumătate din latură — reciproc, unghi drept. Aceste „declanșatoare" scurtează mult rezolvările la Subiectul II și III.

Formule

Isoscel: unghiurile bazei: $AB = AC \iff \angle B \equiv \angle C$
Echilateral: unghiuri: $AB=BC=CA \iff m(\angle A)=m(\angle B)=m(\angle C)=60^\circ$
Unghiuri ascuțite complementare: $m(\angle B)+m(\angle C)=90^\circ$
Cateta opusă lui 30°: $m(\angle C)=30^\circ \Rightarrow AB=\frac{BC}{2}$
Mediana din vârful drept: $AM = \frac{BC}{2}$
Cateta lui 60° (consecință): $m(\angle B)=60^\circ \Rightarrow AC = \frac{BC\sqrt{3}}{2}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ , cu $m(\angle C) = 30^\circ$ și $BC = 16$ cm. Calculați catetele $AB$ și $AC$ .

Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este $[AB]$ (opusă lui $\angle C$ ): $AB = \frac{BC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ cm}.$ Cu teorema lui Pitagora: $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \text{ cm}.$

Exemplul 2

În triunghiul $ABC$ , mediana $[AM]$ ( $M$ mijlocul lui $[BC]$ ) are lungimea $7$ cm, iar $BC = 14$ cm. Arătați că triunghiul este dreptunghic în $A$ .

Observăm că $AM = 7 = \dfrac{14}{2} = \dfrac{BC}{2}$ .

Aplicăm reciproca teoremei medianei: dacă mediana dintr-un vârf este jumătate din latura opusă, triunghiul este dreptunghic în acel vârf.

Deci $m(\angle A) = 90^\circ$ , adică triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ .

(Justificare directă: $MA=MB=MC$ înseamnă că $A$ , $B$ , $C$ sunt pe cercul de centru $M$ și rază $7$ ; $[BC]$ este diametru, iar unghiul $\angle A$ , înscris în semicerc, este drept.)

Greșeli frecvente

Se aplică teorema unghiului de $30^\circ$ catetei alăturate în loc de cateta opusă: jumătate din ipotenuză este cateta OPUSĂ unghiului de $30^\circ$.
Se folosește mediana din alt vârf: doar mediana din vârful unghiului DREPT este jumătate din ipotenuză.
La triunghiul isoscel se consideră congruente unghiul de la vârf și unul de la bază; congruente sunt cele două unghiuri de la BAZĂ.
Se uită reciprocele: din $AB = BC/2$ se poate deduce $m(\angle C)=30^\circ$ (reciproca e adevărată și utilizabilă).
Se presupune că un triunghi isoscel cu un unghi de $60^\circ$ poate să nu fie echilateral — de fapt este întotdeauna echilateral.

Pe scurt

Isoscel: unghiurile bazei congruente; liniile din vârf coincid (axa de simetrie); reciprocă valabilă.
Echilateral: toate laturile egale $\iff$ toate unghiurile $60^\circ$ ; isoscel + un unghi de $60^\circ$ $\Rightarrow$ echilateral.
Dreptunghic: unghiurile ascuțite complementare.
Cateta opusă lui $30^\circ = \dfrac{\text{ip}}{2}$ (cu reciprocă).
Mediana din vârful drept $= \dfrac{\text{ip}}{2}$ (cu reciprocă).

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.