Relații metrice în triunghiul dreptunghic: proiecții ortogonale; teorema înălțimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora + reciproca

Fie triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ , cu ipotenuza $BC = a$ , catetele $AB = c$ , $AC = b$ , și $D$ piciorul înălțimii din $A$ pe ipotenuză ( $AD = h$ ).

Proiecții ortogonale. Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei din punct pe dreaptă; proiecția unui segment este segmentul determinat de proiecțiile capetelor. În configurația noastră, $BD$ este proiecția catetei $AB$ pe ipotenuză, iar $DC$ este proiecția catetei $AC$ pe ipotenuză. Evident $BD + DC = BC$ .

Teorema înălțimii. Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză: $AD^2 = BD\cdot DC.$ Formă echivalentă, foarte utilă la calcule: $h = \dfrac{b\cdot c}{a}$ (înălțimea = produsul catetelor împărțit la ipotenuză, obținută egalând cele două exprimări ale ariei).

Teorema catetei. Fiecare catetă este media geometrică între ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză: $AB^2 = BC\cdot BD, \qquad AC^2 = BC\cdot DC.$

Teorema lui Pitagora. Pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor: $BC^2 = AB^2 + AC^2.$ (Se obține și adunând cele două forme ale teoremei catetei.) Din ea se deduce orice latură când se cunosc celelalte două: $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ etc.

Reciproca teoremei lui Pitagora. Dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două ( $a^2 = b^2 + c^2$ ), atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii $a$ . Se folosește pentru a demonstra perpendicularitatea. Triplete pitagorice frecvente: $(3,4,5)$ , $(6,8,10)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$ , $(7,24,25)$ — și multiplii lor.

Strategia de rezolvare. Într-o problemă cu triunghi dreptunghic și înălțime pe ipotenuză, avem cinci segmente ( $b$ , $c$ , $h$ , $BD$ , $DC$ ) și ipotenuza $a$ ; cunoscând oricare două dintre ele, celelalte se determină în lanț cu cele trei teoreme. Alegerea teoremei potrivite: dacă apare înălțimea și proiecțiile — teorema înălțimii; catetă și proiecția sa — teorema catetei; două laturi — Pitagora. Aceste combinații („relații metrice combos") sunt materia clasică a subpunctelor b) de nota 10.

Formule

Teorema înălțimii: $AD^2 = BD\cdot DC$
Înălțimea (forma cu aria): $h = \frac{b\cdot c}{a}$
Teorema catetei: $AB^2 = BC\cdot BD,\quad AC^2 = BC\cdot DC$
Teorema lui Pitagora: $BC^2 = AB^2 + AC^2$
Reciproca lui Pitagora: $a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow m(\angle A) = 90^\circ$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ , cu $AB = 6$ cm și $AC = 8$ cm. $D$ este piciorul înălțimii din $A$ . Calculați $BC$ , $AD$ , $BD$ și $DC$ .

Pitagora: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.

Înălțimea: $AD = \dfrac{AB\cdot AC}{BC} = \dfrac{6\cdot 8}{10} = 4{,}8$ cm.

Teorema catetei: $AB^2 = BC\cdot BD \Rightarrow BD = \dfrac{36}{10} = 3{,}6$ cm; $DC = BC - BD = 10 - 3{,}6 = 6{,}4$ cm.

Verificare (teorema înălțimii): $AD^2 = BD\cdot DC \Rightarrow 4{,}8^2 = 23{,}04$ și $3{,}6\cdot 6{,}4 = 23{,}04$ . Corect.

Exemplul 2

Un triunghi are laturile $5$ cm, $12$ cm și $13$ cm. Arătați că triunghiul este dreptunghic și calculați aria sa.

Verificăm relația lui Pitagora pentru latura cea mai lungă: $13^2 = 169, \qquad 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169.$ Cum $13^2 = 5^2 + 12^2$ , conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii de $13$ cm (deci $5$ și $12$ sunt catete).

Aria: $\mathcal{A} = \dfrac{5\cdot 12}{2} = 30$ cm².

Greșeli frecvente

La teorema catetei se folosește proiecția CELEILALTE catete: corect este $AB^2 = BC\cdot BD$, unde $BD$ este proiecția lui $AB$ (segmentul dinspre $B$).
Pitagora se aplică într-un triunghi nedreptunghic sau cu ipotenuza confundată: pătratul IPOTENUZEI (latura cea mai lungă, opusă unghiului drept) este suma pătratelor catetelor.
La reciprocă se verifică egalitatea cu latura greșită: se compară pătratul laturii CELEI MAI LUNGI cu suma pătratelor celorlalte două.
Se uită forma $h=\dfrac{bc}{a}$ și se pierde timp; e echivalentă cu egalarea ariilor $\frac{bc}{2}=\frac{ah}{2}$.
Confuzie între proiecție ($BD$, pe ipotenuză) și catetă; proiecțiile sunt segmente ale ipotenuzei: $BD+DC=BC$.

Pe scurt

Înălțimea: $AD^2 = BD\cdot DC$ ; și $h = \dfrac{bc}{a}$ .
Cateta: $AB^2 = BC\cdot BD$ (ipotenuza × proiecția catetei respective).
Pitagora: $a^2 = b^2 + c^2$ ; reciproca demonstrează unghiul drept.
$BD + DC = BC$ ; cunoscând 2 din cele 6 segmente, restul se deduc în lanț.
Triplete: $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$ , $(7,24,25)$ + multiplii.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.