Patrulaterul convex; suma unghiurilor (360°)

Un patrulater este figura geometrică formată din patru puncte $A$ , $B$ , $C$ , $D$ (oricare trei necoliniare), numite vârfuri, unite prin patru segmente $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ , numite laturi. Vârfurile $A$ și $C$ , respectiv $B$ și $D$ , se numesc vârfuri opuse, iar segmentele $[AC]$ și $[BD]$ care le unesc se numesc diagonale. Laturile $[AB]$ și $[CD]$ , respectiv $[BC]$ și $[DA]$ , sunt laturi opuse; $[AB]$ și $[BC]$ sunt laturi alăturate (au un vârf comun).

Un patrulater se numește convex dacă, prelungind oricare dintre laturi, celelalte vârfuri rămân de aceeași parte a dreptei obținute. Echivalent, un patrulater este convex dacă toate unghiurile sale au măsura mai mică de $180°$ și ambele diagonale sunt situate în interiorul său. Dacă un unghi depășește $180°$ (unghi reintrant), patrulaterul este concav (neconvex) și una dintre diagonale iese în exterior. În examen lucrăm doar cu patrulatere convexe.

Proprietatea fundamentală: suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este $360°$ . Demonstrația este simplă: o diagonală, de exemplu $[AC]$ , împarte patrulaterul $ABCD$ în două triunghiuri, $\triangle ABC$ și $\triangle ACD$ . În fiecare triunghi suma unghiurilor este $180°$ , iar cele două sume acoperă exact toate unghiurile patrulaterului. Astfel: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 180° + 180° = 360°$ .

Această relație permite aflarea unui unghi când sunt cunoscute celelalte trei: $\angle D = 360° - (\angle A + \angle B + \angle C)$ . De exemplu, dacă într-un patrulater convex $\angle A = 80°$ , $\angle B = 100°$ și $\angle C = 90°$ , atunci $\angle D = 360° - 270° = 90°$ .

O consecință utilă privește unghiurile exterioare: la fiecare vârf, unghiul exterior este suplementul celui interior. Suma celor patru unghiuri exterioare (câte unul la fiecare vârf) este $4 \cdot 180° - 360° = 360°$ — deci și suma unghiurilor exterioare ale oricărui patrulater convex este $360°$ .

Perimetrul unui patrulater este suma lungimilor laturilor: $P = AB + BC + CD + DA$ .

Probleme tipice folosesc și proporționalitatea: dacă unghiurile sunt proporționale cu niște numere date, notăm valoarea comună cu $x$ , scriem că suma este $360°$ și aflăm $x$ . De exemplu, dacă unghiurile sunt proporționale cu $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , atunci $2x + 3x + 4x + 6x = 360°$ , adică $15x = 360°$ , deci $x = 24°$ , iar unghiurile sunt $48°$ , $72°$ , $96°$ și $144°$ .

Formule

Suma unghiurilor patrulaterului convex: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$
Aflarea unui unghi: $\angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C)$
Suma unghiurilor exterioare: $\angle A_{ext} + \angle B_{ext} + \angle C_{ext} + \angle D_{ext} = 360^\circ$
Perimetrul: $P = AB + BC + CD + DA$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Într-un patrulater convex $ABCD$ se cunosc $\angle A = 70^\circ$ , $\angle B = 100^\circ$ și $\angle C = 95^\circ$ . Calculați măsura unghiului $D$ .

Folosim că suma unghiurilor unui patrulater convex este $360^\circ$ :

$\angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 360^\circ - (70^\circ + 100^\circ + 95^\circ).$

Calculăm suma: $70^\circ + 100^\circ + 95^\circ = 265^\circ$ .

Deci $\angle D = 360^\circ - 265^\circ = 95^\circ$ .

Exemplul 2

Unghiurile unui patrulater convex sunt proporționale cu numerele $2$ , $3$ , $4$ și $6$ . Aflați măsura fiecărui unghi.

Fie $x$ valoarea comună a rapoartelor; atunci unghiurile sunt $2x$ , $3x$ , $4x$ și $6x$ .

Suma lor este $360^\circ$ :

$2x + 3x + 4x + 6x = 360^\circ \ \Rightarrow \ 15x = 360^\circ \ \Rightarrow \ x = 24^\circ.$

Prin urmare unghiurile sunt: $2x = 48^\circ$ , $3x = 72^\circ$ , $4x = 96^\circ$ , $6x = 144^\circ$ .

Verificare: $48^\circ + 72^\circ + 96^\circ + 144^\circ = 360^\circ$ . Corect.

Greșeli frecvente

Folosirea sumei de $180^\circ$ (ca la triunghi) în loc de $360^\circ$ pentru un patrulater. Suma corectă a unghiurilor unui patrulater convex este $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.
Confuzia dintre patrulater convex și concav: la un patrulater convex toate unghiurile au măsura sub $180^\circ$ și ambele diagonale sunt în interior; dacă un unghi depășește $180^\circ$, patrulaterul este concav.
Împărțirea greșită la problemele cu unghiuri proporționale: la $2x+3x+4x+6x=360^\circ$ se împarte $360^\circ$ la suma coeficienților $15$ (obținând $x=24^\circ$), nu la numărul de unghiuri $4$.
A crede că suma unghiurilor exterioare depinde de forma patrulaterului: pentru orice patrulater convex ea este tot $360^\circ$.

Pe scurt

Patrulater convex: toate unghiurile $< 180^\circ$ , ambele diagonale în interior.
Suma unghiurilor: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$ (o diagonală îl împarte în două triunghiuri).
Un unghi necunoscut: $\angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C)$ .
Suma unghiurilor exterioare este tot $360^\circ$ .
Perimetru: $P = AB + BC + CD + DA$ .
La unghiuri proporționale cu $a,b,c,d$ : rezolvi $(a+b+c+d)\cdot x = 360^\circ$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.