Paralelogramul: proprietăți; linia mijlocie în triunghi; centrul de greutate (aplicații)

Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele: în $ABCD$ avem $AB \parallel CD$ și $BC \parallel AD$ . Din această definiție decurg proprietățile paralelogramului:

Laturile opuse sunt congruente: $AB = CD$ și $BC = AD$ .
Unghiurile opuse sunt congruente: $\angle A = \angle C$ și $\angle B = \angle D$ .
Unghiurile alăturate sunt suplementare: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ (fiindcă sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei la drepte paralele).
Diagonalele se înjumătățesc: ele se intersectează într-un punct $O$ care este mijlocul fiecăreia, deci $OA = OC$ și $OB = OD$ .

Criterii de paralelogram. Un patrulater convex este paralelogram dacă îndeplinește una dintre condițiile: (a) laturile opuse sunt paralele două câte două (definiția); (b) laturile opuse sunt congruente două câte două; (c) două laturi opuse sunt în același timp paralele și congruente; (d) unghiurile opuse sunt congruente; (e) diagonalele se înjumătățesc. Aceste criterii se folosesc pentru a demonstra că o figură este paralelogram.

Aria paralelogramului este $\mathcal{A} = b \cdot h$ , unde $b$ este o latură (baza) și $h$ este înălțimea corespunzătoare, adică distanța dintre baza aleasă și latura opusă paralelă. Atenție: aria NU este produsul a două laturi alăturate! Doar la dreptunghi înălțimea coincide cu o latură. Perimetrul este $P = 2(AB + BC)$ .

Aplicația 1 — linia mijlocie în triunghi. Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie. Dacă $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ mijlocul lui $[AC]$ , atunci $MN \parallel BC$ și $MN = \dfrac{BC}{2}$ (linia mijlocie este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea). Reciproc: paralela dusă prin mijlocul unei laturi la o altă latură trece prin mijlocul celei de-a treia laturi. Demonstrația proprietății folosește chiar paralelogramul: prin construcție se obține un paralelogram în care $MN$ este jumătate dintr-o latură.

Aplicația 2 — centrul de greutate. Medianele unui triunghi (segmentele care unesc fiecare vârf cu mijlocul laturii opuse) sunt concurente într-un punct $G$ numit centrul de greutate al triunghiului. Punctul $G$ se află pe fiecare mediană la $\dfrac{2}{3}$ de vârf și la $\dfrac{1}{3}$ de bază: dacă $AM$ este mediană ( $M$ mijlocul lui $[BC]$ ), atunci $AG = \dfrac{2}{3} AM$ , $GM = \dfrac{1}{3} AM$ , deci $AG = 2 \cdot GM$ (raportul $AG : GM = 2 : 1$ ).

De exemplu, într-un triunghi cu mediana $AM = 18$ cm, centrul de greutate împarte mediana astfel: $AG = \dfrac{2}{3}\cdot 18 = 12$ cm și $GM = \dfrac{1}{3}\cdot 18 = 6$ cm.

Formule

Laturi și unghiuri opuse: $AB = CD,\ BC = AD,\quad \angle A = \angle C,\ \angle B = \angle D$
Unghiuri alăturate: $\angle A + \angle B = 180^\circ$
Diagonalele se înjumătățesc: $OA = OC,\quad OB = OD$
Aria paralelogramului: $\mathcal{A} = b \cdot h$
Linia mijlocie în triunghi: $MN \parallel BC,\quad MN = \frac{BC}{2}$
Centrul de greutate: $AG = \frac{2}{3}\,AM,\quad AG = 2\cdot GM$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

În paralelogramul $ABCD$ se cunosc $AB = 8$ cm, $AD = 5$ cm și $\angle A = 60^\circ$ . Aflați măsurile unghiurilor $B$ , $C$ , $D$ și perimetrul paralelogramului.

Unghiurile alăturate sunt suplementare, deci $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .

Unghiurile opuse sunt congruente, deci $\angle C = \angle A = 60^\circ$ și $\angle D = \angle B = 120^\circ$ .

Laturile opuse sunt congruente, deci $CD = AB = 8$ cm și $BC = AD = 5$ cm.

Perimetrul: $P = 2(AB + AD) = 2(8 + 5) = 26$ cm.

Exemplul 2

În triunghiul $ABC$ , $M$ este mijlocul laturii $[AB]$ , iar $N$ este mijlocul laturii $[AC]$ . Știind că $BC = 14$ cm, aflați lungimea segmentului $MN$ . Dacă în plus mediana din $A$ are lungimea $AP = 21$ cm ( $P$ mijlocul lui $[BC]$ ), aflați $AG$ și $GP$ , unde $G$ este centrul de greutate.

$MN$ este linie mijlocie (unește mijloacele a două laturi), deci $MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$ cm.

Centrul de greutate $G$ se află pe mediana $AP$ la $\dfrac{2}{3}$ de vârf:

$AG = \frac{2}{3}\cdot AP = \frac{2}{3}\cdot 21 = 14 \text{ cm}, \qquad GP = \frac{1}{3}\cdot 21 = 7 \text{ cm}.$

Observăm că $AG = 2 \cdot GP$ (adică $14 = 2\cdot 7$ ), conform raportului $2:1$ .

Greșeli frecvente

**Greșeala clasică:** aria paralelogramului = latură $\times$ latură. FALS. Aria este $\mathcal{A} = b\cdot h$ (bază $\times$ înălțime), unde $h$ este distanța dintre laturile paralele, nu latura oblică. Produsul a două laturi alăturate dă aria doar la dreptunghi.
Confuzia la linia mijlocie: $MN$ este **jumătate** din latura paralelă ($MN = BC/2$), nu egală cu ea.
Raportul greșit la centrul de greutate: $AG = \dfrac{2}{3}AM$ (de la vârf), nu $\dfrac{1}{2}$; iar $AG : GM = 2:1$, nu $1:2$ (partea dinspre vârf este cea mai lungă).
Confuzia dintre unghiuri opuse (congruente: $\angle A = \angle C$) și unghiuri alăturate (suplementare: $\angle A + \angle B = 180^\circ$).

Pe scurt

Paralelogram = patrulater cu laturile opuse paralele; laturi opuse congruente, unghiuri opuse congruente, unghiuri alăturate suplementare, diagonale care se înjumătățesc.
Criterii de paralelogram: laturi opuse paralele / congruente; două laturi opuse paralele și congruente; unghiuri opuse congruente; diagonale care se înjumătățesc.
Aria $= b\cdot h$ (bază $\times$ înălțime), NU latură $\times$ latură; perimetru $P = 2(a+b)$ .
Linia mijlocie în triunghi: $MN \parallel BC$ și $MN = BC/2$ .
Centrul de greutate $G$ : medianele concurente; $AG = \tfrac{2}{3}AM$ , $AG = 2\cdot GM$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.