Evaluarea Națională

Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat — proprietăți, diagonale, simetrii

Un paralelogram este un patrulater cu laturile opuse paralele. El are proprietățile: laturile opuse congruente, unghiurile opuse congruente, unghiurile alăturate suplementare (sumă 180∘180^\circ) și diagonalele care se înjumătățesc (punctul lor de intersecție este mijlocul fiecăreia). Paralelogramele particulare — dreptunghiul, rombul și pătratul — păstrează toate aceste proprietăți și adaugă altele noi.

Dreptunghiul

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept. De aici rezultă că toate cele patru unghiuri sunt drepte (90∘90^\circ). Proprietatea sa caracteristică este: diagonalele sunt congruente și se înjumătățesc. Atenție: diagonalele dreptunghiului NU sunt perpendiculare (decât la pătrat) — ele sunt doar egale. Deoarece diagonalele se înjumătățesc și sunt egale, punctul lor de intersecție OO este egal depărtat de toate vârfurile, deci este centrul cercului circumscris. Într-un dreptunghi cu laturile LL și ll, diagonala se calculează cu teorema lui Pitagora: d=L2+l2d = \sqrt{L^2 + l^2}. Aria dreptunghiului este A=L⋅lA = L \cdot l, iar perimetrul P=2(L+l)P = 2(L + l). Dreptunghiul are două axe de simetrie (mediatoarele laturilor) și un centru de simetrie (punctul OO).

Rombul

Rombul este paralelogramul cu două laturi alăturate congruente, deci are toate laturile congruente. Proprietatea caracteristică: diagonalele sunt perpendiculare (d1⊥d2d_1 \perp d_2), se înjumătățesc și sunt bisectoarele unghiurilor rombului. Diagonalele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice congruente. Aria rombului se calculează cel mai simplu cu semiprodusul diagonalelor: A=d1⋅d22A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}; se poate folosi și A=b⋅hA = b \cdot h (bază ×\times înălțime), la fel ca la orice paralelogram. Perimetrul este P=4lP = 4l. Rombul are două axe de simetrie (cele două diagonale) și un centru de simetrie.

Pătratul

Pătratul este în același timp dreptunghi și romb: are toate laturile congruente ȘI toate unghiurile drepte. Prin urmare cumulează toate proprietățile ambelor. Diagonalele pătratului sunt congruente (ca la dreptunghi), perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor (ca la romb), și se înjumătățesc. Diagonala pătratului de latură ll este d=l2d = l\sqrt{2} (din Pitagora: d2=l2+l2=2l2d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2). Aria este A=l2=d22A = l^2 = \dfrac{d^2}{2}, perimetrul P=4lP = 4l. Pătratul are patru axe de simetrie (cele două diagonale și cele două mediatoare ale laturilor) și un centru de simetrie — este cel mai simetric patrulater.

Cum le recunoaștem

O schemă utilă de decizie pentru un paralelogram: dacă diagonalele sunt egale → dreptunghi; dacă diagonalele sunt perpendiculare → romb; dacă sunt și egale și perpendiculare → pătrat. Aceste criterii (reciprocele) sunt foarte des folosite în probleme de tip „arată că patrulaterul este dreptunghi/romb/pătrat”.

Formule

  • Diagonala dreptunghiului: d=L2+l2d = \sqrt{L^2 + l^2}

  • Aria dreptunghiului: A=L⋅lA = L \cdot l

  • Aria rombului (diagonale): A=d1⋅d22A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

  • Aria rombului (bază-înălțime): A=b⋅hA = b \cdot h

  • Diagonala pătratului: d=l2d = l\sqrt{2}

  • Aria pătratului: A=l2=d22A = l^2 = \frac{d^2}{2}

  • Perimetrul rombului/pătratului: P=4lP = 4l

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Un romb are diagonalele de 1212 cm și 1616 cm. Calculează latura, perimetrul și aria rombului.

Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci în punctul OO de intersecție se formează triunghiuri dreptunghice cu catetele d12=6\dfrac{d_1}{2} = 6 cm și d22=8\dfrac{d_2}{2} = 8 cm.

Latura (ipotenuza unui astfel de triunghi), din teorema lui Pitagora: l=62+82=36+64=100=10 cm.l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.

Perimetrul: P=4l=4⋅10=40P = 4l = 4 \cdot 10 = 40 cm.

Aria: A=d1⋅d22=12⋅162=1922=96 cm2.A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} = \dfrac{12 \cdot 16}{2} = \dfrac{192}{2} = 96 \text{ cm}^2.

Exemplul 2

Un pătrat are aria de 4949 cm2^2. Calculează latura, perimetrul și lungimea diagonalei.

Latura: din A=l2=49A = l^2 = 49 rezultă l=49=7l = \sqrt{49} = 7 cm.

Perimetrul: P=4l=4⋅7=28P = 4l = 4 \cdot 7 = 28 cm.

Diagonala: d=l2=72d = l\sqrt{2} = 7\sqrt{2} cm ≈9,9\approx 9{,}9 cm.

Verificare cu formula ariei prin diagonală: A=d22=(72)22=982=49 cm2.A = \dfrac{d^2}{2} = \dfrac{(7\sqrt{2})^2}{2} = \dfrac{98}{2} = 49 \text{ cm}^2. Corect.

Exemplul 3

Un dreptunghi ABCDABCD are AB=24AB = 24 cm și diagonala AC=25AC = 25 cm. Calculează lățimea BCBC și aria dreptunghiului.

Într-un dreptunghi toate unghiurile sunt drepte, deci triunghiul ABCABC este dreptunghic în BB, cu ipotenuza ACAC.

Din teorema lui Pitagora: BC=AC2−AB2=252−242=625−576=49=7 cm.BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7 \text{ cm}.

Aria: A=AB⋅BC=24⋅7=168 cm2.A = AB \cdot BC = 24 \cdot 7 = 168 \text{ cm}^2.

Greșeli frecvente

  • A afirma că diagonalele dreptunghiului sunt perpendiculare. FALS — diagonalele dreptunghiului sunt CONGRUENTE (egale), nu perpendiculare. Perpendicularitatea diagonalelor apare la romb și la pătrat.
  • A calcula aria rombului ca latură × latură (ca la pătrat) sau latură × diagonală. Corect: $A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ (semiprodusul diagonalelor) sau $A = b \cdot h$. Aria rombului NU este $l^2$, deoarece unghiurile nu sunt drepte.
  • A folosi întreaga diagonală drept catetă în triunghiul din centru. Diagonalele SE ÎNJUMĂTĂȚESC, deci catetele sunt $\frac{d_1}{2}$ și $\frac{d_2}{2}$, nu $d_1$ și $d_2$.
  • A confunda diagonala pătratului: a scrie $d = l\sqrt{3}$ (formula de la cub, din spațiu) în loc de $d = l\sqrt{2}$. În plan, diagonala pătratului este $l\sqrt{2}$.
  • A crede că un paralelogram cu diagonalele egale este romb sau că unul cu diagonalele perpendiculare este dreptunghi. Este invers: diagonale egale → dreptunghi; diagonale perpendiculare → romb.

Pe scurt

  • Dreptunghi: 4 unghiuri drepte; diagonale congruente (NU perpendiculare) care se înjumătățesc; d=L2+l2d = \sqrt{L^2 + l^2}; A=L⋅lA = L \cdot l; 2 axe de simetrie.
  • Romb: 4 laturi congruente; diagonale perpendiculare, bisectoare, care se înjumătățesc; A=d1d22A = \frac{d_1 d_2}{2}; P=4lP = 4l; 2 axe de simetrie (diagonalele).
  • Pătrat: dreptunghi + romb; diagonale congruente ȘI perpendiculare ȘI bisectoare; d=l2d = l\sqrt{2}; A=l2=d22A = l^2 = \frac{d^2}{2}; 4 axe de simetrie.
  • Criterii de recunoaștere pentru un paralelogram: diagonale egale → dreptunghi; diagonale ⊥\perp → romb; egale și ⊥\perp → pătrat.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.