Trapezul: clasificare, trapezul isoscel, linia mijlocie a trapezului

Definiție

Trapezul este patrulaterul convex care are exact două laturi paralele, numite baze. Baza mai lungă se notează de obicei $B$ (baza mare), iar cealaltă $b$ (baza mică). Celelalte două laturi, neparalele, se numesc laturi laterale (sau picioare). Distanța dintre baze — lungimea segmentului perpendicular dus dintr-o bază pe cealaltă — este înălțimea trapezului, notată $h$ .

Deoarece bazele sunt paralele, tăiate de o latură laterală (secantă), unghiurile de pe aceeași latură laterală (alăturate aceleiași laturi) sunt suplementare: suma lor este $180^\circ$ . Astfel, într-un trapez $ABCD$ cu $AB \parallel CD$ , avem $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$ și $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$ .

Clasificare

După laturile laterale, deosebim:

Trapezul oarecare — laturile laterale au lungimi diferite și nu formează unghiuri drepte cu bazele.
Trapezul dreptunghic — o latură laterală este perpendiculară pe baze; această latură coincide cu înălțimea. Are două unghiuri drepte (alăturate laturii perpendiculare).
Trapezul isoscel — laturile laterale sunt congruente (egale).

Trapezul isoscel

Trapezul isoscel are proprietăți importante, foarte des folosite în probleme:

Laturile laterale sunt congruente: $AD \equiv BC$ .
Unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente: unghiurile de la baza mare sunt egale între ele, la fel cele de la baza mică. Deci $\widehat{A} \equiv \widehat{B}$ și $\widehat{C} \equiv \widehat{D}$ .
Diagonalele sunt congruente: $AC \equiv BD$ .
Are o axă de simetrie: mediatoarea comună a celor două baze (perpendiculara pe baze prin mijloacele lor).

Reciproc, dacă într-un trapez diagonalele sunt congruente (sau unghiurile alăturate unei baze sunt congruente), atunci trapezul este isoscel — criteriu util în problemele de tip „arată că trapezul este isoscel”.

Linia mijlocie a trapezului

Linia mijlocie a unui trapez este segmentul care unește mijloacele laturilor laterale (neparalele). Ea are două proprietăți fundamentale:

este paralelă cu bazele;
are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor: $MN = \frac{B + b}{2}.$

De aici deducem relații utile: dacă știm linia mijlocie $m$ și o bază, aflăm cealaltă bază: $B = 2m - b$ . De asemenea, distanța dintre linia mijlocie și fiecare bază este $\dfrac{h}{2}$ , iar linia mijlocie împarte trapezul în două trapeze mai mici de înălțimi egale.

Aria trapezului

Aria trapezului se calculează cu formula: $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}.$

Deoarece $\dfrac{B+b}{2}$ este chiar linia mijlocie $m$ , aria se poate scrie foarte simplu ca linia mijlocie înmulțită cu înălțimea: $A = m \cdot h$ . Această legătură dintre linia mijlocie și arie apare frecvent în subiectele de examen și oferă o cale rapidă de calcul.

Formule

Linia mijlocie a trapezului: $MN = \frac{B + b}{2}$
Aria trapezului: $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$
Aria cu linia mijlocie: $A = m \cdot h$
Unghiuri alăturate unei laturi laterale: $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$
Diagonalele trapezului isoscel: $AC \equiv BD$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Un trapez are bazele de $14$ cm și $8$ cm și înălțimea de $5$ cm. Calculează linia mijlocie și aria trapezului.

Linia mijlocie este media aritmetică a bazelor: $m = \frac{B + b}{2} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11 \text{ cm}.$

Aria trapezului: $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \frac{22 \cdot 5}{2} = \frac{110}{2} = 55 \text{ cm}^2.$

Verificare cu linia mijlocie: $A = m \cdot h = 11 \cdot 5 = 55 \text{ cm}^2.$ Corect.

Exemplul 2

Linia mijlocie a unui trapez are $9$ cm, iar baza mică are $6$ cm. Cât este baza mare?

Din $m = \dfrac{B + b}{2}$ rezultă $B + b = 2m = 2 \cdot 9 = 18$ cm.

Cum baza mică este $b = 6$ cm, avem $B = 18 - 6 = 12$ cm.

Deci baza mare are $12$ cm.

Exemplul 3

Un trapez isoscel $ABCD$ (cu $AB \parallel CD$ , $AB = 16$ cm baza mare, $CD = 6$ cm baza mică) are laturile laterale de $13$ cm. Calculează înălțimea trapezului.

Coborâm înălțimile $DE \perp AB$ și $CF \perp AB$ , cu $E, F \in AB$ . Se formează dreptunghiul $EFCD$ cu $EF = CD = 6$ cm.

Într-un trapez isoscel, cele două triunghiuri dreptunghice de la capete ( $AED$ și $BFC$ ) sunt congruente, deci $AE = FB = \dfrac{AB - CD}{2} = \dfrac{16 - 6}{2} = 5$ cm.

În triunghiul dreptunghic $AED$ , cu ipotenuza $AD = 13$ cm și cateta $AE = 5$ cm, aflăm înălțimea $DE$ din teorema lui Pitagora: $DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}.$

Greșeli frecvente

A calcula linia mijlocie ca semidiferența bazelor $\frac{B-b}{2}$ în loc de media aritmetică $\frac{B+b}{2}$. Semidiferența $\frac{B-b}{2}$ este lungimea proiecției unei laturi laterale (folosită la înălțime), NU linia mijlocie.
A afirma că laturile laterale ale ORICĂRUI trapez sunt congruente. Congruența laturilor laterale este proprietatea trapezului ISOSCEL; la un trapez oarecare laturile laterale sunt diferite.
A crede că diagonalele trapezului isoscel se înjumătățesc (ca la paralelogram). Diagonalele trapezului isoscel sunt doar CONGRUENTE între ele; ele NU se înjumătățesc, deoarece trapezul nu este paralelogram.
A folosi greșit înălțimea în aria trapezului — a înmulți cu latura laterală în loc de înălțime. Înălțimea $h$ este distanța (perpendiculara) dintre baze, nu latura laterală (decât la trapezul dreptunghic).
A confunda baza mare cu baza mică la calculul proiecțiilor: proiecția fiecărei laturi laterale la trapezul isoscel este $\frac{B-b}{2}$ (baza mare minus baza mică), niciodată invers.

Pe scurt

Trapez = patrulater cu exact două laturi paralele (bazele $B$ și $b$ ); unghiurile alăturate unei laturi laterale sunt suplementare ( $180^\circ$ ).
Clasificare: oarecare, dreptunghic (o latură laterală $\perp$ pe baze) și isoscel (laturi laterale congruente).
Trapezul isoscel: laturi laterale congruente, unghiuri alăturate fiecărei baze congruente, diagonale congruente, o axă de simetrie. Diagonalele NU se înjumătățesc.
Linia mijlocie: unește mijloacele laturilor laterale, este paralelă cu bazele și $m = \frac{B+b}{2}$ .
Aria: $A = \frac{(B+b)\cdot h}{2} = m \cdot h$ .
La trapezul isoscel, proiecția unei laturi laterale pe baza mare este $\frac{B-b}{2}$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.