Perimetre și arii: triunghi, paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez

Perimetrul unei figuri este suma lungimilor laturilor sale (lungimea conturului), iar aria este măsura suprafeței închise de contur. Perimetrul se măsoară în unități de lungime ( $\text{cm}$ , $\text{m}$ ), iar aria în unități pătratice ( $\text{cm}^2$ , $\text{m}^2$ ). Reținem că $1\,\text{m}^2 = 100\,\text{dm}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$ : la trecerea între unități de arie, raportul se ridică la pătrat.

Triunghiul

Pentru orice triunghi, aria este jumătate din produsul dintre o bază și înălțimea corespunzătoare ei: $\mathcal{A} = \frac{b \cdot h}{2}.$ Înălțimea este segmentul perpendicular din vârful opus pe latura-bază. La un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt perpendiculare, deci una este înălțime pentru cealaltă: $\mathcal{A} = \frac{c_1 \cdot c_2}{2}.$ La triunghiul echilateral cu latura $l$ , înălțimea este $h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$ , de unde aria: $\mathcal{A} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}.$ Perimetrul triunghiului este suma laturilor; la cel echilateral $P = 3l$ .

Pătratul și dreptunghiul

La pătrat cu latura $l$ : $P = 4l$ și $\mathcal{A} = l^2$ . La dreptunghi cu lungimea $L$ și lățimea $\ell$ : $P = 2(L+\ell)$ și $\mathcal{A} = L \cdot \ell$ .

Paralelogramul

Aria paralelogramului este produsul dintre o bază și înălțimea corespunzătoare acelei baze (distanța dintre baza aleasă și latura paralelă cu ea): $\mathcal{A} = b \cdot h.$ Atenție: înălțimea $h$ nu este latura oblică, ci distanța perpendiculară dintre laturile paralele. Aria nu se calculează înmulțind cele două laturi, decât dacă unghiul dintre ele este drept (adică figura e dreptunghi). Perimetrul este $P = 2(a+b)$ , unde $a$ și $b$ sunt lungimile a două laturi alăturate.

Rombul

Rombul este paralelogramul cu toate laturile congruente, deci are $P = 4l$ . Aria se poate calcula ca la orice paralelogram, $\mathcal{A} = b \cdot h$ (latura ori înălțimea), dar cel mai des se folosește formula cu diagonalele, care în romb sunt perpendiculare: $\mathcal{A} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}.$

Trapezul

Trapezul are două laturi paralele, numite baze ( $B$ = baza mare, $b$ = baza mică), iar distanța dintre ele este înălțimea $h$ . Aria este: $\mathcal{A} = \frac{(B+b)\cdot h}{2}.$ Se observă că aria trapezului este egală cu produsul dintre linia mijlocie $\dfrac{B+b}{2}$ și înălțime. Perimetrul este suma celor patru laturi.

În rezolvarea problemelor, înălțimile care nu sunt date direct se află frecvent cu teorema lui Pitagora (de exemplu, înălțimea triunghiului echilateral sau a trapezului isoscel). Verifică întotdeauna că baza și înălțimea folosite sunt corespunzătoare (perpendiculare între ele) și că toate lungimile sunt exprimate în aceeași unitate de măsură înainte de a calcula.

Formule

Aria triunghiului oarecare: $\mathcal{A} = \frac{b\cdot h}{2}$
Aria triunghiului dreptunghic: $\mathcal{A} = \frac{c_1\cdot c_2}{2}$
Aria triunghiului echilateral: $\mathcal{A} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$
Aria pătratului: $\mathcal{A} = l^2$
Aria dreptunghiului: $\mathcal{A} = L\cdot \ell$
Aria paralelogramului: $\mathcal{A} = b\cdot h$
Aria rombului (diagonale): $\mathcal{A} = \frac{d_1\cdot d_2}{2}$
Aria trapezului: $\mathcal{A} = \frac{(B+b)\cdot h}{2}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Un paralelogram are o latură de $12\,\text{cm}$ și înălțimea corespunzătoare acestei laturi de $5\,\text{cm}$ . Latura alăturată are $8\,\text{cm}$ . Calculați aria și perimetrul paralelogramului.

Aria paralelogramului este produsul dintre bază și înălțimea corespunzătoare ei: $\mathcal{A} = b\cdot h = 12\cdot 5 = 60\,\text{cm}^2.$ Atenție: nu înmulțim cele două laturi ( $12\cdot 8$ ), pentru că latura de $8\,\text{cm}$ nu este perpendiculară pe baza de $12\,\text{cm}$ .

Perimetrul este suma laturilor, adică dublul sumei a două laturi alăturate: $P = 2(12 + 8) = 2\cdot 20 = 40\,\text{cm}.$

Exemplul 2

Un trapez are bazele de $10\,\text{cm}$ și $6\,\text{cm}$ , iar înălțimea de $4\,\text{cm}$ . Calculați aria trapezului.

Aplicăm formula ariei trapezului, cu $B=10$ , $b=6$ , $h=4$ : $\mathcal{A} = \frac{(B+b)\cdot h}{2} = \frac{(10+6)\cdot 4}{2} = \frac{16\cdot 4}{2} = \frac{64}{2} = 32\,\text{cm}^2.$

Exemplul 3

Un romb are diagonalele de $6\,\text{cm}$ și $8\,\text{cm}$ . Calculați aria și perimetrul rombului.

Aria rombului cu diagonalele $d_1=6$ și $d_2=8$ : $\mathcal{A} = \frac{d_1\cdot d_2}{2} = \frac{6\cdot 8}{2} = \frac{48}{2} = 24\,\text{cm}^2.$ Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, formând un triunghi dreptunghic cu catetele $\frac{6}{2}=3$ și $\frac{8}{2}=4$ . Latura rombului este ipotenuza: $l = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}.$ Perimetrul: $P = 4l = 4\cdot 5 = 20\,\text{cm}.$

Greșeli frecvente

Aria paralelogramului calculată ca **latură × latură** (produsul a două laturi alăturate) este GREȘITĂ. Corect: aria este bază × înălțime, $\mathcal{A}=b\cdot h$, unde $h$ este distanța perpendiculară dintre laturile paralele, nu latura oblică. Produsul laturilor dă aria doar la dreptunghi (unghi drept).
Confuzia dintre înălțime și latura oblică la triunghi sau trapez: se folosește latura înclinată în loc de înălțimea perpendiculară. Corect: înălțimea este segmentul perpendicular pe bază; dacă nu e dată, se află (adesea cu teorema lui Pitagora).
La aria rombului se împarte la 2 o singură dată sau se uită împărțirea: $\mathcal{A}=d_1\cdot d_2$ (greșit). Corect: $\mathcal{A}=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}$.
Uitarea împărțirii la 2 la aria triunghiului: $\mathcal{A}=b\cdot h$ (greșit, aceea e aria paralelogramului). Corect: $\mathcal{A}=\dfrac{b\cdot h}{2}$.
Transformarea greșită a unităților de arie: se tratează $1\,\text{m}^2=100\,\text{cm}^2$ (greșit). Corect: $1\,\text{m}^2=10\,000\,\text{cm}^2$, deoarece raportul de lungime ($100$) se ridică la pătrat.

Pe scurt

Perimetru = suma laturilor (unități de lungime); arie = suprafața închisă (unități pătratice). La unități de arie, raportul se ridică la pătrat: $1\,\text{m}^2=10\,000\,\text{cm}^2$ .
Arii: triunghi $\dfrac{b\cdot h}{2}$ ; dreptunghic $\dfrac{c_1 c_2}{2}$ ; echilateral $\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}$ ; pătrat $l^2$ ; dreptunghi $L\cdot\ell$ ; paralelogram $b\cdot h$ ; romb $\dfrac{d_1 d_2}{2}$ ; trapez $\dfrac{(B+b)h}{2}$ .
Aria paralelogramului este bază × înălțime, NU latură × latură.
Înălțimea este mereu perpendiculară pe bază; când lipsește, se află des cu teorema lui Pitagora.
La triunghi și trapez nu uita împărțirea la 2.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.