Cercul: centru, rază, coardă, diametru, arc; unghi la centru; unghi înscris

Cercul este mulțimea tuturor punctelor din plan situate la aceeași distanță $R$ față de un punct fix $O$ , numit centru. Distanța comună $R$ se numește rază.

Elementele cercului

Raza este segmentul care unește centrul cu un punct al cercului; toate razele aceluiași cerc sunt congruente.
Coarda este segmentul care unește două puncte de pe cerc.
Diametrul este coarda care trece prin centru; el este cea mai lungă coardă și are lungimea $d = 2R$ . Diametrul împarte cercul în două semicercuri.
Arcul de cerc este o porțiune din cerc cuprinsă între două puncte ale sale. Două puncte împart cercul în două arce (unul mai mic, unul mai mare). Măsura unui arc se exprimă în grade, iar cercul întreg măsoară $360°$ .

O proprietate utilă: diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul acelei coarde (și invers). De asemenea, la coarde congruente corespund arce congruente.

Unghiul la centru

Un unghi la centru are vârful în centrul $O$ al cercului, iar laturile sale sunt două raze. Măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului cuprins între laturile sale: $m(\widehat{AOB}) = m(\overset{\frown}{AB}).$ Astfel, un arc și unghiul la centru care îl subîntinde au aceeași măsură. De exemplu, dacă $m(\overset{\frown}{AB}) = 80°$ , atunci și unghiul la centru corespunzător are $80°$ .

Unghiul înscris

Un unghi înscris are vârful pe cerc, iar laturile sale sunt două coarde. Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale: $m(\widehat{ABC}) = \frac{1}{2}\, m(\overset{\frown}{AC}),$ unde arcul $\overset{\frown}{AC}$ este cel care nu conține vârful $B$ . În mod echivalent, unghiul înscris are jumătate din măsura unghiului la centru care subîntinde același arc: $m(\widehat{ABC}) = \frac{1}{2}\, m(\widehat{AOC}).$

De aici rezultă două consecințe folosite foarte des la examen:

Toate unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt congruente (au aceeași măsură, jumătate din arcul comun).
Unghiul înscris într-un semicerc este drept ( $90°$ ): dacă $[AB]$ este diametru și $C$ este un punct oarecare pe cerc, atunci $m(\widehat{ACB}) = 90°$ . Motivul: arcul $\overset{\frown}{AB}$ (semicercul) are $180°$ , iar unghiul înscris este jumătate din el, adică $90°$ . Reciproc, dacă un triunghi înscris într-un cerc are un unghi drept, latura opusă acestuia este diametru.

Recapitulare a relației cheie

Pentru același arc $\overset{\frown}{AB}$ : unghiul la centru = măsura arcului, iar orice unghi înscris care se sprijină pe acel arc = jumătate din el. Confuzia dintre cele două tipuri de unghiuri (la centru vs. înscris) este sursa multor erori — verifică întotdeauna unde se află vârful unghiului: în centru sau pe cerc.

Formule

Diametrul: $d = 2R$
Unghiul la centru: $m(\widehat{AOB}) = m(\overset{\frown}{AB})$
Unghiul înscris: $m(\widehat{ABC}) = \frac{1}{2}\, m(\overset{\frown}{AC})$
Unghi înscris și unghi la centru pe același arc: $m(\widehat{ABC}) = \frac{1}{2}\, m(\widehat{AOC})$
Unghiul înscris în semicerc: $m(\widehat{ACB}) = 90^\circ \text{ dacă } [AB] \text{ este diametru}$
Măsura cercului întreg: $360^\circ$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Într-un cerc de centru $O$ , unghiul la centru $\widehat{AOB}$ are măsura de $70°$ . Determinați măsura unghiului înscris $\widehat{ACB}$ , unde $C$ este un punct pe arcul mare $\overset{\frown}{AB}$ .

Unghiul la centru $\widehat{AOB}$ subîntinde arcul mic $\overset{\frown}{AB}$ , deci $m(\overset{\frown}{AB}) = 70°$ .

Unghiul înscris $\widehat{ACB}$ , cu vârful $C$ pe arcul mare, se sprijină pe același arc mic $\overset{\frown}{AB}$ . Măsura unghiului înscris este jumătate din arcul cuprins: $m(\widehat{ACB}) = \frac{1}{2}\, m(\overset{\frown}{AB}) = \frac{70°}{2} = 35°.$

Exemplul 2

Punctele $A$ , $B$ , $C$ se află pe un cerc, iar $[AB]$ este diametru. Știind că $m(\widehat{ABC}) = 32°$ , determinați măsurile celorlalte unghiuri ale triunghiului $ABC$ .

Deoarece $[AB]$ este diametru, unghiul înscris $\widehat{ACB}$ este înscris într-un semicerc, deci este drept: $m(\widehat{ACB}) = 90°.$ Suma unghiurilor triunghiului $ABC$ este $180°$ , deci: $m(\widehat{BAC}) = 180° - 90° - 32° = 58°.$ Așadar triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$ , cu $m(\widehat{ACB})=90°$ , $m(\widehat{ABC})=32°$ și $m(\widehat{BAC})=58°$ .

Exemplul 3

Într-un cerc de centru $O$ , coarda $[AB]$ subîntinde un arc $\overset{\frown}{AB}$ de $120°$ . Determinați măsura unghiului $\widehat{OAB}$ al triunghiului $OAB$ .

Unghiul la centru corespunzător arcului este $m(\widehat{AOB}) = m(\overset{\frown}{AB}) = 120°$ .

Triunghiul $OAB$ este isoscel, deoarece $OA = OB = R$ (raze). Unghiurile de la bază sunt congruente: $m(\widehat{OAB}) = m(\widehat{OBA})$ . Din suma unghiurilor triunghiului: $m(\widehat{OAB}) = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°.$

Greșeli frecvente

Confuzia dintre unghiul la centru și unghiul înscris: se ia unghiul înscris egal cu arcul. Corect: unghiul la centru este egal cu arcul, iar unghiul înscris este jumătate din arc. Verifică unde este vârful — în centru sau pe cerc.
Uitarea că unghiul înscris într-un semicerc este de $90°$. Când o latură a triunghiului înscris este diametru, unghiul opus ei este automat drept.
Considerarea coardei egale cu diametrul: orice coardă are lungimea cel mult $2R$, dar este diametru DOAR dacă trece prin centru. Nu orice coardă este diametru.
Alegerea greșită a arcului la unghiul înscris: se folosește arcul care conține vârful în loc de arcul cuprins între laturi (cel care nu conține vârful). Unghiul înscris = jumătate din arcul pe care se „sprijină”, opus vârfului.
Confuzia dintre rază și diametru în calcule: se folosește $R$ în loc de $d=2R$ (sau invers). Reține: $d = 2R$.

Pe scurt

Cercul = punctele la distanța $R$ de centru; raza $R$ , coarda unește două puncte, diametrul $=2R$ este coarda prin centru, arcul e o porțiune de cerc; cercul întreg are $360°$ .
Unghiul la centru (vârf în $O$ ) = măsura arcului cuprins.
Unghiul înscris (vârf pe cerc) = jumătate din arcul cuprins = jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc.
Unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt congruente.
Unghiul înscris în semicerc este drept ( $90°$ ): dacă o latură a triunghiului înscris este diametru, unghiul opus are $90°$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.