Proprietăți coarde–arce; diametrul perpendicular pe coardă; tangente dintr-un punct exterior

Într-un cerc de centru $O$ și rază $R$ , o coardă este un segment care unește două puncte de pe cerc, iar diametrul este coarda care trece prin centru (cea mai lungă coardă, egală cu $2R$ ). Fiecare coardă $AB$ împarte cercul în două arce. În această lecție studiem legăturile dintre coarde, arce și distanța până la centru, precum și tangentele.

1. Arce congruente ↔ coarde congruente. Într-un cerc (sau în cercuri congruente), două arce sunt congruente dacă și numai dacă coardele care le subîntind sunt congruente:

$\overarc{AB} \equiv \overarc{CD} \iff AB \equiv CD.$

Motivul: unghiurile la centru corespunzătoare sunt congruente, deci triunghiurile isoscele $\triangle OAB$ și $\triangle OCD$ (cu laturile egale cu $R$ ) sunt congruente (LUL).

2. Diametrul perpendicular pe o coardă. Dacă un diametru (sau o rază) este perpendicular pe o coardă $AB$ , atunci el înjumătățește coarda și înjumătățește cele două arce subîntinse de ea:

$OM \perp AB \implies MA = MB \ \text{ și } \ \overarc{AM} \equiv \overarc{MB}.$

Reciproc, dreapta care unește centrul cu mijlocul unei coarde este perpendiculară pe coardă. De aici obținem o formulă foarte utilă: dacă $d = OM$ este distanța de la centru la coardă, atunci semicoarda este cateta într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $R$ :

$MA = \sqrt{R^2 - d^2}, \qquad AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}.$

3. Coarde egal depărtate de centru. Într-un cerc, două coarde sunt congruente dacă și numai dacă sunt egal depărtate de centru: $AB \equiv CD \iff d(O, AB) = d(O, CD)$ . Cu cât o coardă este mai aproape de centru, cu atât este mai lungă; diametrul (distanța $0$ ) este cea mai lungă coardă.

4. Tangenta la cerc. O dreaptă este tangentă cercului dacă îl atinge într-un singur punct, numit punct de tangență. Proprietatea fundamentală: tangenta este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență:

$OT \perp t \ \text{ (dreapta tangentă în } T).$

Reciproc, dreapta perpendiculară pe o rază, în capătul ei de pe cerc, este tangentă cercului.

5. Tangente dintr-un punct exterior. Dintr-un punct $P$ situat în exteriorul cercului se pot duce exact două tangente, cu punctele de tangență $A$ și $B$ . Ele au proprietăți importante:

segmentele tangente sunt congruente: $PA = PB$ ;
dreapta $PO$ (centrul cu punctul exterior) este bisectoarea unghiului $\angle APB$ și, totodată, mediatoarea coardei $AB$ ;
triunghiurile $\triangle OAP$ și $\triangle OBP$ sunt dreptunghice (în $A$ , respectiv $B$ ) și congruente (IC).

Deoarece $\triangle OAP$ este dreptunghic în $A$ , cu ipotenuza $OP$ și cateta $OA = R$ , lungimea tangentei din $P$ se calculează cu teorema lui Pitagora:

$PA = \sqrt{OP^2 - R^2}.$

Aceste proprietăți apar constant la Subiectul II (grile cu figură) și la subpunctele grele ale problemelor de cerc din Subiectul III.

Formule

Semicoarda / coarda în funcție de distanța la centru: $MA = \sqrt{R^2 - d^2}, \quad AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$
Diametrul perpendicular pe coardă: $OM \perp AB \implies MA = MB$
Arce ↔ coarde: $\overarc{AB} \equiv \overarc{CD} \iff AB \equiv CD$
Tangenta perpendiculară pe rază: $OT \perp t$
Tangente congruente dintr-un punct exterior: $PA = PB$
Lungimea tangentei dintr-un punct exterior: $PA = \sqrt{OP^2 - R^2}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Un cerc are centrul $O$ și raza $R = 13$ cm. O coardă $AB$ se află la distanța de $5$ cm de centru. Calculați lungimea coardei $AB$ .

Fie $M$ piciorul perpendicularei din $O$ pe $AB$ ; atunci $OM = 5$ cm și, conform proprietății diametrului perpendicular pe coardă, $M$ este mijlocul lui $AB$ .

În triunghiul dreptunghic $\triangle OMA$ (drept în $M$ ), cu ipotenuza $OA = R = 13$ , aplicăm teorema lui Pitagora:

$MA = \sqrt{R^2 - OM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}.$

Deoarece $M$ este mijlocul coardei, $AB = 2 \cdot MA = 2 \cdot 12 = 24$ cm.

Exemplul 2

Dintr-un punct $P$ exterior cercului de centru $O$ și rază $R = 8$ cm se duc tangentele $PA$ și $PB$ ( $A$ , $B$ puncte de tangență). Știind că $OP = 17$ cm, calculați lungimea $PA$ și arătați că $PA = PB$ .

Tangenta este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență, deci $OA \perp PA$ , iar $\triangle OAP$ este dreptunghic în $A$ , cu ipotenuza $OP$ .

Cu teorema lui Pitagora:

$PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}.$

Analog, $\triangle OBP$ este dreptunghic în $B$ cu $OB = R = 8$ și aceeași ipotenuză $OP = 17$ , deci $PB = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15$ cm. Prin urmare $PA = PB = 15$ cm — cele două tangente dintr-un punct exterior sunt congruente.

Exemplul 3

În cercul de centru $O$ , coardele $AB$ și $CD$ sunt egal depărtate de centru: $d(O, AB) = d(O, CD) = 6$ cm, iar $R = 10$ cm. Arătați că $AB = CD$ și calculați lungimea lor comună.

Coardele egal depărtate de centrul aceluiași cerc sunt congruente, deci $AB = CD$ .

Pentru lungime, folosim formula coardei: cu $d = 6$ și $R = 10$ ,

$AB = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{100 - 36} = 2\sqrt{64} = 2 \cdot 8 = 16 \text{ cm}.$

Așadar $AB = CD = 16$ cm.

Greșeli frecvente

Uită că tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangență și lucrează cu un unghi drept plasat greșit; corect: $OT \perp t$, deci triunghiul rază–tangentă este dreptunghic exact în punctul de tangență.
Confundă semicoarda cu coarda întreagă: aplică $\sqrt{R^2 - d^2}$ și scriu direct rezultatul ca fiind $AB$. Corect: $\sqrt{R^2 - d^2}$ este doar jumătatea coardei, deci $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$.
Cred că orice diametru înjumătățește o coardă. Corect: doar diametrul (raza) **perpendicular** pe coardă o înjumătățește; un diametru oblic nu are această proprietate.
Uită că tangentele dintr-un punct exterior sunt congruente ($PA = PB$) și tratează $PA$ și $PB$ ca segmente diferite, complicând inutil calculul.
Aplică teorema lui Pitagora cu $OP$ drept catetă în loc de ipotenuză. Corect: în triunghiul rază–tangentă, $OP$ este ipotenuza, deci $PA = \sqrt{OP^2 - R^2}$, nu $\sqrt{OP^2 + R^2}$.

Pe scurt

Arce congruente $\iff$ coarde congruente (în același cerc sau în cercuri congruente).
Diametrul (raza) $\perp$ pe o coardă o înjumătățește și înjumătățește arcele: $MA = MB$ .
Coarda în funcție de distanța $d$ la centru: $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$ ; coarde egal depărtate de centru sunt congruente.
Tangenta este $\perp$ pe raza din punctul de tangență: $OT \perp t$ .
Din punct exterior: două tangente congruente $PA = PB$ ; $PO$ bisectează $\angle APB$ ; lungimea tangentei $PA = \sqrt{OP^2 - R^2}$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.