Poligoane regulate înscrise în cerc: latura și apotema (l3, l4, l6); ariile

Un poligon regulat este un poligon cu toate laturile congruente și toate unghiurile congruente. Orice poligon regulat poate fi înscris într-un cerc: toate vârfurile lui se află pe cerc, iar centrul cercului coincide cu centrul poligonului. Raza $R$ a acestui cerc (numit cerc circumscris) unește centrul cu un vârf.

Apotema poligonului, notată $a$, este distanța de la centru la o latură, adică raza cercului înscris în poligon. Apotema este întotdeauna perpendiculară pe latură și cade în mijlocul ei. Astfel, centrul $O$, mijlocul $M$ al unei laturi și un vârf $A$ formează un triunghi dreptunghic în $M$, în care $OA = R$ (ipotenuza), $OM = a$ (apotema) și $AM = \frac{l}{2}$ (jumătate din latură). De aici, prin teorema lui Pitagora, obținem mereu relația $R^2 = a^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2$.

În programa de clasa a VIII-a se studiază trei poligoane regulate remarcabile înscrise în cercul de rază $R$:

1. Triunghiul echilateral (n = 3). Latura este $l_3 = R\sqrt{3}$, iar apotema $a_3 = \dfrac{R}{2}$. Apotema este exact jumătate din rază, deoarece $O$ este centrul de greutate și împarte înălțimea în raport $2:1$. Aria triunghiului echilateral înscris este $\mathcal{A}_3 = \dfrac{3\sqrt{3}\,R^2}{4}$. Aceeași arie se poate scrie și în funcție de latură: $\mathcal{A}_3 = \dfrac{l_3^{\,2}\sqrt{3}}{4}$.

2. Pătratul (n = 4). Latura este $l_4 = R\sqrt{2}$ (diagonala pătratului este chiar diametrul $2R$), iar apotema $a_4 = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$. Observă că apotema pătratului este jumătate din latură: $a_4 = \dfrac{l_4}{2}$. Aria pătratului înscris este $\mathcal{A}_4 = l_4^{\,2} = 2R^2$.

3. Hexagonul regulat (n = 6). Latura este $l_6 = R$ — un rezultat de reținut: latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului. Apotema este $a_6 = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$. Aria hexagonului regulat înscris este $\mathcal{A}_6 = \dfrac{3\sqrt{3}\,R^2}{2}$, care se poate scrie și $\mathcal{A}_6 = \dfrac{3\,l_6^{\,2}\sqrt{3}}{2}$ (hexagonul se descompune în 6 triunghiuri echilaterale de latură $R$).

Formula generală a ariei. Pentru orice poligon regulat cu perimetrul $P$ și apotema $a$, aria este $\mathcal{A} = \frac{P \cdot a}{2}.$ Ea se obține unind centrul cu toate vârfurile: poligonul se descompune în $n$ triunghiuri congruente, fiecare cu baza $l$ și înălțimea $a$, deci arie $\frac{l\cdot a}{2}$; înmulțind cu $n$ și folosind $P = n\cdot l$, rezultă formula. Această relație funcționează pentru toate cele trei poligoane și îți dă un mijloc sigur de verificare: de exemplu, la hexagon $P = 6R$ și $a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2}$, deci $\mathcal{A}_6 = \frac{6R \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{3\sqrt{3}\,R^2}{2}$, exact ca mai sus.

În probleme apar deseori combinații: se dă raza și se cere latura sau aria, se compară ariile a două poligoane înscrise în același cerc, sau se cere diferența dintre aria discului și aria poligonului. Cheia este să identifici corect poligonul (după numărul de laturi), să folosești formula potrivită pentru $l$ și $a$ și, dacă e nevoie, triunghiul dreptunghic $OMA$ cu Pitagora.