Evaluarea Națională

Lungimea cercului (2πR) și aria discului (πR²); aplicații

Cercul este mulțimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix OO (centrul), la distanța RR (raza). Discul este suprafața mărginită de cerc (cercul împreună cu interiorul său). Este esențial să distingi cele două mărimi: lungimea cercului este o lungime (o linie), iar aria discului este o arie (o suprafață).

Numărul π\pi. Raportul dintre lungimea oricărui cerc și diametrul său este mereu același număr irațional, notat π≈3,14\pi \approx 3{,}14. De aici provin formulele de bază.

Lungimea cercului. Dacă cercul are raza RR (și diametrul d=2Rd = 2R), lungimea lui este L=2πR=πd.L = 2\pi R = \pi d. Ea se măsoară în unități de lungime (cm, m). De exemplu, un cerc de rază 55 cm are lungimea L=2π⋅5=10πL = 2\pi\cdot 5 = 10\pi cm ≈31,4\approx 31{,}4 cm.

Aria discului. Aria suprafeței mărginite de cerc este A=πR2.\mathcal{A} = \pi R^2. Ea se măsoară în unități de arie (cm², m²). Atenție: în formula ariei se folosește raza, nu diametrul. Dacă cunoști diametrul, întâi afli raza (R=d2R = \frac{d}{2}) și abia apoi calculezi. Scrierea A=πd2\mathcal{A} = \pi d^2 este greșită; corect ar fi A=π(d2)2=πd24\mathcal{A} = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}.

Arcul de cerc. Un arc corespunzător unui unghi la centru de n∘n^\circ este o fracție din întregul cerc: din 360∘360^\circ îi revine fracția n360\frac{n}{360}. Lungimea arcului este deci ℓarc=2πR⋅n360.\ell_{arc} = 2\pi R\cdot\frac{n}{360}.

Sectorul de cerc. Sectorul de n∘n^\circ (felia de disc) are aria proporțională cu același raport: Asector=πR2⋅n360.\mathcal{A}_{sector} = \pi R^2\cdot\frac{n}{360}. Pentru un semicerc (n=180∘n = 180^\circ) sectorul este jumătate de disc, iar pentru un sfert de cerc (n=90∘n = 90^\circ) este un sfert de disc.

Coroana circulară. Regiunea dintre două cercuri concentrice, de raze RR (exterior) și rr (interior), are aria egală cu diferența ariilor celor două discuri: Acoroana˘=πR2−πr2=π(R2−r2).\mathcal{A}_{coroană} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2).

Segmentul circular. Regiunea cuprinsă între o coardă și arcul pe care îl subîntinde se obține (în cazurile simple) scăzând din aria sectorului aria triunghiului format de cele două raze și coardă: Asegment=Asector−Atriunghi.\mathcal{A}_{segment} = \mathcal{A}_{sector} - \mathcal{A}_{triunghi}.

Aplicații tipice. În examen apar: calculul lungimii unei roți sau piste; aflarea razei/diametrului când se cunoaște lungimea sau aria; compararea lungimii cu aria (mărimi de naturi diferite, nu se pot egala numeric decât întâmplător); probleme cu sectoare (felii de pizza, cadrane de ceas), cu coroane (inele, țevi văzute în secțiune) și combinații între disc și poligoane înscrise. Recomandare: lasă rezultatul cu π\pi (formă exactă) și, dacă se cere aproximarea, folosește π≈3,14\pi\approx 3{,}14 doar la final. Verifică mereu unitatea de măsură: lungimile în cm, ariile în cm².

Formule

  • Lungimea cercului: L=2πR=πdL = 2\pi R = \pi d

  • Aria discului: A=πR2\mathcal{A} = \pi R^2

  • Lungimea arcului de n°: ℓarc=2πR⋅n360\ell_{arc} = 2\pi R\cdot\frac{n}{360}

  • Aria sectorului de n°: Asector=πR2⋅n360\mathcal{A}_{sector} = \pi R^2\cdot\frac{n}{360}

  • Aria coroanei circulare: Acoroana˘=π(R2−r2)\mathcal{A}_{coroană} = \pi(R^2 - r^2)

  • Aria segmentului circular: Asegment=Asector−Atriunghi\mathcal{A}_{segment} = \mathcal{A}_{sector} - \mathcal{A}_{triunghi}

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Un cerc are diametrul d=12d = 12 cm. Calculează lungimea cercului și aria discului mărginit de el.

Raza. R=d2=122=6R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 cm.

Lungimea cercului. L=2πR=2π⋅6=12πL = 2\pi R = 2\pi\cdot 6 = 12\pi cm ≈37,68\approx 37{,}68 cm. (Echivalent, L=πd=12πL = \pi d = 12\pi cm.)

Aria discului. A=πR2=π⋅62=36π\mathcal{A} = \pi R^2 = \pi\cdot 6^2 = 36\pi cm² ≈113,04\approx 113{,}04 cm².

Observă că lungimea se exprimă în cm, iar aria în cm² — mărimi de naturi diferite.

Exemplul 2

Lungimea unui cerc este L=20πL = 20\pi cm. Determină raza cercului și aria discului.

Raza. Din L=2πRL = 2\pi R rezultă 2πR=20π2\pi R = 20\pi, deci R=20π2π=10R = \dfrac{20\pi}{2\pi} = 10 cm.

Aria. A=πR2=π⋅102=100π\mathcal{A} = \pi R^2 = \pi\cdot 10^2 = 100\pi cm² ≈314\approx 314 cm².

Exemplul 3

Un sector de cerc are unghiul la centru de 90∘90^\circ, într-un cerc de rază R=8R = 8 cm. Calculează lungimea arcului și aria sectorului.

Sectorul de 90∘90^\circ reprezintă 90360=14\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4} din cerc.

Lungimea arcului. ℓarc=2πR⋅90360=2π⋅8⋅14=4π\ell_{arc} = 2\pi R\cdot\dfrac{90}{360} = 2\pi\cdot 8\cdot\dfrac{1}{4} = 4\pi cm.

Aria sectorului. Asector=πR2⋅90360=π⋅64⋅14=16π\mathcal{A}_{sector} = \pi R^2\cdot\dfrac{90}{360} = \pi\cdot 64\cdot\dfrac{1}{4} = 16\pi cm².

Greșeli frecvente

  • Confundarea lungimii cercului cu aria discului: se folosește $2\pi R$ când se cere aria sau $\pi R^2$ când se cere lungimea. Reține: lungimea (linie) $= 2\pi R$ în cm; aria (suprafață) $= \pi R^2$ în cm².
  • Folosirea diametrului în locul razei în formula ariei: $\mathcal{A} = \pi d^2$ este GREȘIT. Corect este $\mathcal{A} = \pi R^2$; dacă se dă diametrul, întâi $R = \frac{d}{2}$.
  • La formula ariei cu diametru: uitarea împărțirii la 4 — corect $\mathcal{A} = \frac{\pi d^2}{4}$, nu $\pi d^2$.
  • La sector/arc: uitarea raportului $\frac{n}{360}$ sau împărțirea la $180$ în loc de $360$.
  • Amestecarea unităților de măsură: exprimarea ariei în cm în loc de cm², sau înlocuirea prematură a lui $\pi$ cu $3{,}14$ ce duce la erori de rotunjire când se cere formă exactă.

Pe scurt

  • Lungimea cercului: L=2πR=πdL = 2\pi R = \pi d (se măsoară în cm, m).
  • Aria discului: A=πR2\mathcal{A} = \pi R^2 — se folosește raza, nu diametrul (se măsoară în cm², m²).
  • Arc de n∘n^\circ: ℓ=2πR⋅n360\ell = 2\pi R\cdot\frac{n}{360}; sector de n∘n^\circ: A=πR2⋅n360\mathcal{A} = \pi R^2\cdot\frac{n}{360}.
  • Coroana circulară (între raze RR și rr): A=π(R2−r2)\mathcal{A} = \pi(R^2 - r^2).
  • Segment circular = aria sectorului −- aria triunghiului.
  • A=πd2\mathcal{A} = \pi d^2 este greșit; corect A=πd24\mathcal{A} = \frac{\pi d^2}{4}.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.